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Sujet Nombre d'or

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Sujet de la discussion Nombre d'or
Le nombre d'or est fascinant, il fait partie de la géométrie fantastique de la nature... Mais pourquoi est-il si fascinant? Et quelles en sont ses applications musicales?
2
C censé être la rapport universel, c'etait le trip numérologique des grecs ( pythagoriciens ). Ce qui ets marrant, c'est qu'il est par rationnel ( donc dépourvu de raison.... ), alors que justement, les grecs pensaient qu'ils n'existaient que les nombre rationnels ( les pauvres, s'ils connaissaient les quaternions :mdr: ).

bref, c'est la moitié de 1+racine carré(5) , ce qui fait 1.618 et des poussières ( infinité& de nombres, puisque irrationnel ).

C'est une solution de x^2-x-1 = 0, l'autre étant bien sûr la moitie de 1-racine carrée de 5.

En fait, ça a pleins de propriétés particulières, parce que faisant partie de groupes spéciaux ( groupe au sens mathématique du terme, concept mathématique très important ) : 1/p + 1 = p, ou p est le nombre d'or, par exemple. C'est pour ça qu'à mon avis c'est de la fumisterie : pleins de nombres ont les mêmes propriétés.
3
Mais les proportions du corps humain sont pour beaucoup en rapport avec le nimbre d'or apparemment. N'en demeurerais-t-on pas sensible a cette "divine" proportion?
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Ben non, des relations comme ça, il en existe des milliers ( exemple : exp(-i*pi ) = -1, c'ets plus bluufant, par exemple ).

Les nombres, on les trouve là où on veut bien les trouver. Une bonne chanson radio, c'est 3'30... Ben, c'ets deux fois le nombre d'or ! :mdr:
5
Bon, tu es bien plus calé que moi la dessus... mais certains rapports sont prédominants ou disons plutot importants dans certains cas, non?. Comme la théorie des fractales et la formation du coeur des marguerittes que l'on ceuille lorsqu'il fait beau :8)
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Je pense pas que les fractales soint comparables à ce que j'appelle la numérologie. Pour faire simple, les fractales sont des objets mathématiques ( oui, c'est très vague ) ayant une invariance par echelle : quand tu "zoomes", ou "de zoomes" sur l'objet en question, tu "vois" la même chose. Donc il y a pas vraiment de notion de rapport, comme dans le nombre d'or, à mon avis.

L'histoire dit que c'est mandelbrot qui a "inventé" ça en observant la nature, mais je trouve cette explication un tant soit peu vaseuse, ou en tout cas, il a forcément été influencé pas les travaux de Cantor et cie ( premiers "ensembles fractals" à ma connaissance, dans les années 1880-1890 ), je pense.
7
Dis donc gabou, pendant que t'es dans le coin, tu ne pourrais pas m'expliquer un peu les ensembles trans-finis de Cantor...vite fait, bien fait, comme ça, l'air de rien ?
8
La notion de rapport n'est-elle pas justement cette proportion identique a toute échelle?
je sens que l'explication des ensembles trans-finis de Cantor va me plaire. Je suis curieux vu que je ne connais pas.
9
Je connais pas vraiment cette théorie ( jaime de moins en moins la théorie des ensembles ), mais pour faire simple, le truc de cantor, dans son bouquin publié en 99, voulait mesurer des ensembles infinis.

Exemple : l'ensemble des nombres naturels ( 0,1, etc... ) est infini. Mais on peut "compter ses éléments", naivement, donc on dit qu'il est dénombrable. Jusqu'à là, rien de bien péhnoménal. Sauf que l'infini, c'est vicieux.

On dit d'un ensemble qu'il est dénombrable s'il a la même "taille" que N ( ensembles des nombres naturel, donc 0,1,2... ). Comment dire que ça a le même taille ? par exemple, E1 = {0;1;2;3} a la même taille que E2 = {5;6;7;8}, il y a le même nombre d'éléments. Bien sûr, quand l'ensemble est infini, on ne peut plus compter naivement, puisqu'il y en a une infinité. Donc en fait, on dit qu'il y a le même nombre d'éléments si on peu les apparier de manière biunivoque, ou encore bijective.

Ainsi, pour reprendre l'exemple de tout à l'heure, l'application x->x+5 de E1 dans E2 est bijective, car à un élément de {0;..3} correspond un et un seul élément de E2, frâce à mon application. Dis autrement, si tu prends un élément de E1, il a son image dans E2, et aussi, tout élément de E2 a un antécédent dans E1 ( à 5 correspond 0, etc... ).

Comme cette relation est biunivoque, on comprend assez bien que les deux ensembles ont la même "taille". La beauté de ce truc, c'est que c'est complètement généralisable à n'importe quel ensemble. On dit alors qu'un ensemble E est dénombrable s'il existe une bijection de N dans E ( s'il y a une bijection de E dans N, il y en a forcément une de N dans E, appéleée fonction "invers", rien à voir avec la division. Dans l'exemple E1, E2, c'est l'application x->x-5 de E2 dans E1 ).

Jusqu'à la, rien de bien extrardinaire ? Non. Mais Z, l'ensembles des entiers ( donc -1,1,-2,2,0, etc... ) a exactement la même taille que N. Pas convaincu ( il y a clairement deux fois plus d'éléments, me diras tu ) ? l'application de N dans Z n->n si n pair, et -(n-1) si n impair marche. Cette application est bijective.

ENcore plus fort : Q ( les rationnels ) est aussi dénombrable. La, c'est le délire total, car entre n et n+1, deux entiers successifs, il y a carrément une infinité de rationnels ? POurtant, tu peux construire une application bijective de N dans Q ! On note d'ailleurs Q = N*N, ce qui veut dire que Q et la donnée de deux entiers est équivalente, et surtout unique si on prend des précautions.

bon, par contre, R, l'ensemble des réels, n'est pas du tout dénombrable, mais Q est dense dans R ( pour tout reel, tu peux construire une suite de rationnels qui converge vers ce réel... On dit que R est l'adhérence de Q ).

Bref, l'infini de N, cantor denomme ça l'aleph0. Le cardinal ( le "nombre" d'elements de Z ) et aussi aleph0, totu comme celui des nombres pairs, impairs, et nombres premiers ( je vois pas de démo immédiate pour le coup des nombres premiers, j'aurais même tendance à penser a priori qu'elle est pas évidente du tout ). POur R, il dénomme ça aleph1, ce qui laisse entendre qu'il y a pas d'ensemble de cardinalité intermédiaire entre R et N... Et tu auras raison !

Qqs propriétés de aleph : aleph0+aleph0 = aleph0 ( ajouter un ensemble dénombrable à un ensemble dénombrable ne change pas son carctère dénombrable : exemple de Z par rapport à N )

aleph0+n = aleph0 ( rajouter un nombre fini d'elements ne change pas sa cardinalité )

plus fort : alpeh0*aleph0 = aleph0 ( cas de Q ). Encore plus fort : aleph^n=aleph0, avec n entier. Même si n = infini, c'est vrai.

par contre : aleph0^aleph0 = aleph1 ( on peut écrire R = N^N, où R et N denomme les ensemble de réels et nombres entiers naturels ).

Il y a aussi aleph2, ensemble des courbes du plan. Trouver une signification à aleph3 et cie... C'est de la recherche actuellement.

Ouf !
10
Pour avoir plus de détails ( notemment l'absence d'intermédiaire entre aleph0 et aleph1, hypothèse indémontrable, comme l'ont montré Gôdel et Cohen ; c'est la fameuse hypothèse du continu ).

http://membres.lycos.fr/villemingerard/Nombre/InfiniP2.htm