Sujet "Le Saviez-Vous ?"

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Une variété de Calabi-Yau est définie comme une variété kählérienne dont la première classe de Chern est nulle. Le mathématicien Eugenio Calabi a conjecturé en 1957 que de telles variétés admettent nécessairement une métrique dont le tenseur de Ricci s'annule (on parle aussi d'espace Ricci-plat). La conjecture a été démontrée par Shing-Tung Yau en 1977 dans ce qui est devenu le théorème de Yau. Dès lors, on peut également définir une variété de Calabi-Yau comme un espace compact, Kähler et Ricci-plat.

De façon encore équivalente, un espace de Calabi-Yau de dimension complexe n\, (ce qui correspond à une dimension réelle 2n\ peut être vu comme une Variété riemannienne d'holonomie réduite à SU(n)\, (le groupe d'holonomie d'une variété riemannienne de dimension réelle 2n\, étant génériquement le groupe SO(2n)\.

Enfin, on peut encore voir de façon équivalente un espace de Calabi-Yau comme une variété kählérienne admettant une (n,0)-\,forme holomorphe définie globalement et ne s'annulant nulle part. Cette dernière condition est équivalente à ce que le fibré canonique sur la variété soit trivial. Ceci se traduit par une classe canonique triviale. Ce dernier point de vue est utile pour généraliser la définition d'une variété Calabi-Yau au cas d'espaces possédant des singularités car même si la classe de Chern n'est pas bien définie pour un espace singulier on peut encore considérer les notions de fibré canonique et de classe canonique.

Il est notable toutefois que même pour certains des Calabi-Yau les plus simples (voir plus bas) on ne sait pas exhiber explicitement la métrique Ricci-plate bien que son existence soit assurée par le théorème de Yau