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Théorème de Shannon ! :x:

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  • 1 follower
Sujet de la discussion Théorème de Shannon ! :x:
Salut à tous,
je voudrais savoir si quelqu'un pourrait m'expliquer le fameux "théorème de Shannon". En effet je vois partout " d'après le théorème de Shannon..." "Shannon a dit ceci..." "Shanon a dit cela..." mais personne ne l'explique ! Son théorème consiste à dire que l'échantillonage d'un signal analogique en numérique doit se faire à 2 fois la fréquence la plus haute du signal analogique. Je sais aussi qu'il y a un pb de rabatement spectral (aliasing) des hautes fréquences qui pourrait nuire à la qualité finale du morceau échantillonné. Mais y a t-il une formule mathématique à l'appuis qui le prouve... et surtout est ce que quelqu'un connaitrait un site qui développe plus amplement ce théorème ?

Je remercie tous ceux qui pourrons me répondre.

A bientôt !
2
Tout ce que je peux te dire, c'est qu'il faut deux points pour définir une fréquence (logique), donc si tu échantillonnes à 44100 Hz, tu ne pourras arriver qu'à traiter des sons inférieurs à 22050 Hz (ce qui est bien suffisant d'ailleurs) : c'est çà le théorème de Shannon...

pour ce qui est des cours, je te conseille :
http://perso.wanadoo.fr/xcotton/electron/coursetdocs.htm

c'est super complet et pas que pour le numérique d'ailleurs :clin:


Cata
3
Ben, c'est : C = W log2(1 + S/B )

C = bits par segonde
W = bande passante en hertz
S/B = rapport signal bruit

amuse toi bien ! :mdr:
4
Hello...

Pour faire simple disons que si un signal analogique va d'une frequence mini (Fmin) à une frequence maxi (Fmax). Mais mathématiquement l'information concernant la phase (comment différencier un cosinus d'un sinus a la meme frequence) est mise dans des frequences dites "négatives" c'est à dire que lorsqu'on va regarder le spectre, il ne faut pas le regarder de Fmin à Fmax mais de -Fmax à +Fmax. La courbe resemblera donc au spectre du signal dans le positif, et à la symetrie du spectre dans le negatif (comme un mirroir).

Par ailleurs le fait de l'echantillonner à une frequence d'echantillonnage (Fe) engendre mathematiquement une copie du spectre de ton signal analogique centré sur des multiples de ta frequence d'echantillonnage la Kieme copie du spectre va etre centrée sur KFe et va s'etendre de KFe - Fmax à KFe + Fmax (je le repete, il ne faut pas chercher a comprendre pouquoi, c'est une conséquence de l'echantillonnage). Si bien que si Fe est trop petit, la copie décalé de -Fmax va empieter sur le +Fmax de la copie du spectre precédente.
Donc, pour eviter tout repliement de spectre, il faut que le + Fmax soit inférieur au -Fmax de la copie décalée du spectre. On a donc :
Fmax < Fe - Fmax
Fmax + Fmax < Fe
CQFD

Pfffff... comme d'hab j'ai l'impression d'etre archi pas clair. Un beau schema vallant toutes les explications, je vais essayer de te trouver ca.
5
C'est pour la CAN conversion analogique numerique.

Lorsque tu echantillonnes un signal, ce fameux theoreme (aussi appelé theoreme de niquist)te raconte que:

La frequence d'echantillonnage doit etre superieur a 2*la frequence max de ton signal analogique.

soit Fe>2*Fmax sinon aliasing (ou repliement spectrale, c'est le truc que tu vois lorsqu'a la tele les roues tournent a l'envers) :clin:

c'est pour ca qu'en audio on echantillonne au dessus de 40KhZ, car l'oreille en theorie et entre guillemets, n'entend pas les sons de frequence sup a 20kHz.
bon apres c'est plus des problemes d'ordre pratiques qui obligent a surrechantillonner, car il faut aussi filtrer passe bas pour suprimer les frequence sup a 20Hz de ton signal d'entree, mais bon ca je pense que tu t'en fous. :8)

OUps desolé Bluebird a deja repondu :oops:

pour la theorie y a plein de site sur ca, mais attention, bon niveau de math et de traitement du signal requit, si les peignes de dirac et autres transformee de fourrier ne te disent rien, c'est pas la peine :|

Site personnel: https://www.enib.fr/~choqueuse/

6
Je rajouterais que contrairement à ce que beaucoup de gens croient, si la frequence d'echantillonnage est correctement choisie, on retrouve bien l'intégralité du signal, malgrés le fait qu'on n'en preleve qu'une partie. Car, justment, cette conséquence de multiplication de spectre fait qu'en masquant les frequences hors du domaine ]-Fmax;+Fmax[ on retrouve le signal analogique.

Mais ceci est d'un point de vu mathématique.
Malheureusement le monde de Pangloss est bien loin du notre. Est ce n'est physiquement pas aussi simple à réaliser
7
De toute facon n'importe qu'elle numerisation introduit des bruits de quantification :clin:

Site personnel: https://www.enib.fr/~choqueuse/

8
Quelques sites :

Un premier
Un second

Sans decripter l'aspect mathematique, regarde les quelques courbes qui etayeront peut etre mon explication un peu lourde.

Cya!
Tom

NB : recherche sous google avec Shannon et Signal
9

Citation : De toute facon n'importe qu'elle numerisation introduit des bruits de quantification

Bonne remarque, car attention, shannon ne s'occupe que de l'aspect frequenciel des choses. Mais la dynamique, à savoir l'amplitude, va dépendre de la resolution que tu va choisir 16 bits, 24 bits.
10

Citation :
(aussi appelé theoreme de niquist)



et aussi appelé théorème de Whittaker :clin: Découvert en 1924, quand même, 25 ans avant shanon