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Théorème de Shannon ! :x:

  • 24 réponses
  • 12 participants
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  • 1 follower
Sujet de la discussion Théorème de Shannon ! :x:
Salut à tous,
je voudrais savoir si quelqu'un pourrait m'expliquer le fameux "théorème de Shannon". En effet je vois partout " d'après le théorème de Shannon..." "Shannon a dit ceci..." "Shanon a dit cela..." mais personne ne l'explique ! Son théorème consiste à dire que l'échantillonage d'un signal analogique en numérique doit se faire à 2 fois la fréquence la plus haute du signal analogique. Je sais aussi qu'il y a un pb de rabatement spectral (aliasing) des hautes fréquences qui pourrait nuire à la qualité finale du morceau échantillonné. Mais y a t-il une formule mathématique à l'appuis qui le prouve... et surtout est ce que quelqu'un connaitrait un site qui développe plus amplement ce théorème ?

Je remercie tous ceux qui pourrons me répondre.

A bientôt !
2
Tout ce que je peux te dire, c'est qu'il faut deux points pour définir une fréquence (logique), donc si tu échantillonnes à 44100 Hz, tu ne pourras arriver qu'à traiter des sons inférieurs à 22050 Hz (ce qui est bien suffisant d'ailleurs) : c'est çà le théorème de Shannon...

pour ce qui est des cours, je te conseille :
http://perso.wanadoo.fr/xcotton/electron/coursetdocs.htm

c'est super complet et pas que pour le numérique d'ailleurs :clin:


Cata
3
Ben, c'est : C = W log2(1 + S/B )

C = bits par segonde
W = bande passante en hertz
S/B = rapport signal bruit

amuse toi bien ! :mdr:
4
Hello...

Pour faire simple disons que si un signal analogique va d'une frequence mini (Fmin) à une frequence maxi (Fmax). Mais mathématiquement l'information concernant la phase (comment différencier un cosinus d'un sinus a la meme frequence) est mise dans des frequences dites "négatives" c'est à dire que lorsqu'on va regarder le spectre, il ne faut pas le regarder de Fmin à Fmax mais de -Fmax à +Fmax. La courbe resemblera donc au spectre du signal dans le positif, et à la symetrie du spectre dans le negatif (comme un mirroir).

Par ailleurs le fait de l'echantillonner à une frequence d'echantillonnage (Fe) engendre mathematiquement une copie du spectre de ton signal analogique centré sur des multiples de ta frequence d'echantillonnage la Kieme copie du spectre va etre centrée sur KFe et va s'etendre de KFe - Fmax à KFe + Fmax (je le repete, il ne faut pas chercher a comprendre pouquoi, c'est une conséquence de l'echantillonnage). Si bien que si Fe est trop petit, la copie décalé de -Fmax va empieter sur le +Fmax de la copie du spectre precédente.
Donc, pour eviter tout repliement de spectre, il faut que le + Fmax soit inférieur au -Fmax de la copie décalée du spectre. On a donc :
Fmax < Fe - Fmax
Fmax + Fmax < Fe
CQFD

Pfffff... comme d'hab j'ai l'impression d'etre archi pas clair. Un beau schema vallant toutes les explications, je vais essayer de te trouver ca.
5
C'est pour la CAN conversion analogique numerique.

Lorsque tu echantillonnes un signal, ce fameux theoreme (aussi appelé theoreme de niquist)te raconte que:

La frequence d'echantillonnage doit etre superieur a 2*la frequence max de ton signal analogique.

soit Fe>2*Fmax sinon aliasing (ou repliement spectrale, c'est le truc que tu vois lorsqu'a la tele les roues tournent a l'envers) :clin:

c'est pour ca qu'en audio on echantillonne au dessus de 40KhZ, car l'oreille en theorie et entre guillemets, n'entend pas les sons de frequence sup a 20kHz.
bon apres c'est plus des problemes d'ordre pratiques qui obligent a surrechantillonner, car il faut aussi filtrer passe bas pour suprimer les frequence sup a 20Hz de ton signal d'entree, mais bon ca je pense que tu t'en fous. :8)

OUps desolé Bluebird a deja repondu :oops:

pour la theorie y a plein de site sur ca, mais attention, bon niveau de math et de traitement du signal requit, si les peignes de dirac et autres transformee de fourrier ne te disent rien, c'est pas la peine :|

Site personnel: https://www.enib.fr/~choqueuse/

6
Je rajouterais que contrairement à ce que beaucoup de gens croient, si la frequence d'echantillonnage est correctement choisie, on retrouve bien l'intégralité du signal, malgrés le fait qu'on n'en preleve qu'une partie. Car, justment, cette conséquence de multiplication de spectre fait qu'en masquant les frequences hors du domaine ]-Fmax;+Fmax[ on retrouve le signal analogique.

Mais ceci est d'un point de vu mathématique.
Malheureusement le monde de Pangloss est bien loin du notre. Est ce n'est physiquement pas aussi simple à réaliser
7
De toute facon n'importe qu'elle numerisation introduit des bruits de quantification :clin:

Site personnel: https://www.enib.fr/~choqueuse/

8
Quelques sites :

Un premier
Un second

Sans decripter l'aspect mathematique, regarde les quelques courbes qui etayeront peut etre mon explication un peu lourde.

Cya!
Tom

NB : recherche sous google avec Shannon et Signal
9

Citation : De toute facon n'importe qu'elle numerisation introduit des bruits de quantification

Bonne remarque, car attention, shannon ne s'occupe que de l'aspect frequenciel des choses. Mais la dynamique, à savoir l'amplitude, va dépendre de la resolution que tu va choisir 16 bits, 24 bits.
10

Citation :
(aussi appelé theoreme de niquist)



et aussi appelé théorème de Whittaker :clin: Découvert en 1924, quand même, 25 ans avant shanon
11
Un peu de simplicité dans tout ça ne serait pas en trop....
Le théorème de Shannon dit tout simplement que la fréquence d'échantillonnage doit être au minimum deux fois supérieur à la fréquence la plus hazute à échantillonner.
Ex: Si je veux numériser une fréquence de 20kHz, je dois échantillonner au minimum à 40kHz (du moins à 44,1Khz). :bravo:
12
Ouais, mais thomasxp demandait justement une explication de ce théorème ;)
13
Merci pour vos réponses ! :)
je suis entrain de consulter les sites que vous m'avez conseillé !

a bientôt. :idee:
14
Hé les gars, vous avez pas l'impression de vous répéter tous entre vous là ??
15
Shannon ou Nyquist ? Les avis sont partagés :

https://www.espace-cubase.org/level1pp2.htm

A bientôt, ici ou ailleurs

Espace Cubase et La Boitazic
16
Historiquement, le premier qui a montré le resultat mathématique correspondant au théorème dit de Shanon, c'est bien whittaker, en 35 ( donc en fait 13-14 ans avant shanon, pas 25 :oops: ).

Maintenant, c'est le théorème de shanon ( qui l'a de toute façon redecouvert, et non pas palagié ) qui lancé la révolution du numérique, alors finalement, le vrai nom, c'ets le théorème de Whittaker/Shanon :bravo:

Bravo gabou, quel bel enculage de mouches ! :oops:
17
Ah bah zut! moi qui croyait que c'était le théorème de Nyquist... :???:
18
Il faut que j'ajoute qq mots...
Arretons les maths! Il faut une frequence largement superieur a 2x pour pouvoir restituer fidelement un signal.
Ce que les maths ne disent pas ce que si l'oreille est "incappable" de percevoir une frequence sinus sup a 16-20KHz, elle integre le signal et en sort qq chose qu'on percoit.

Pourquoi tout le monde dit : le numerqie c'est froid, l'analogique c'est chaud!
Tout simplement parcqu'en echantillonant a 44KHz on enleve des tas d'infimes details qui pourtant sont necessaires a l'oreille pour situer un son avec precision.
L'oreille travaille avec de tous petits sons issues des reverberations sur les parrois, objects...
En numerisant a 44, l'oreille perdant ces details sonores, perd ses reperes habituels, ainsi le son percu etant different de celui qu'on entend "dans la nature", on le trouve artificiel : froid.

De plus en analogique la bande passante de 20Khz est donnee pour -3dB, les frequences plus hautes sont attenuees a 6dB/octave. En numerique pour les raisons d'anti-aliasing, les frequences au dessus de 20K sont radicalement supprimees par un filtre du 8ieme ordre !
Autrement dit le numerique a 20khz supprime toute la chaleur du son...

La resolution elle est qualitative. Une tres bonne oreille a une resolution equivalente a 20 bits. Elle definie egalement la dynamique du signal (rapport entre le signal le plus petit et le plus grand).

J'essaye de faire la part des choses. Lorsque j'etait etudiant, je croyait en Shanon, mais a force d'analyses, d'utiliser differents matos... voila mes pensees a ce sujet.

Cela dit en 192 Khz/24bits le numerique commence a etre respectable.
19
J'oubliais...

Essayez avec seulement 2 points par periode poses sur un graphique de reconstitue un signal ... Ok si c'est un sinus parfait on y arrive, mais la musique n'a absolument rien d'UN sinus ... Alors quel etait le signal d'orogine ?!.
Un signal complexe, non symetrique, bruite necessite au minimum une vingtaine de points pour etre recompose.
Ceci d'experience, je concois des cartes electroniques d'aquisitions/mesure pour calculateurs de bords en aeronautique...
20
Shanon UTILISE le critère de nyquist....;)
21
Bien venu sur traitement du signal land ;), ne vous en faite pas ce n'est pas une maladie, les gens ici sont tout à fait normaux.....;)...malgrés les 0:51 !!!!!!
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Pour mémoire : un dossier et un autre

Cya!
Tom
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Et ca doit etre le 23 000 000 ieme sujet sur shannon :8)
faites l'effort pour les interesses qui se demande ce que signifie Aliasing, theoreme de shannon ou truc machin, d'aller voir ce qui existe deja sur les autres posts...

Pour les autres qui s'en mettent plein la tronche a coup de pratique-theorique, je propose un duel a mort, celui qui vaincra possedera l'ultime verité sur la conversion AN

Shannonnement votre :clin:

Site personnel: https://www.enib.fr/~choqueuse/

24

Citation :
Il faut une frequence largement superieur a 2x pour pouvoir restituer fidelement un signal.



Non.... Non, et non :clin: Le numérique n'est pas particulièrement froid en soit

Citation :
Ce que les maths ne disent pas ce que si l'oreille est "incappable" de percevoir une frequence sinus sup a 16-20KHz, elle integre le signal et en sort qq chose qu'on percoit.



Ben normal, c'est pas le rôle des maths, ça, mais celui des sciences perceptives
:clin: Puis si on integre un signal, on reduit sa bande passante :clin:

Non, bref, l'oreille peut certainement percevoir des fréquences au dela de 20 khz, mais ce sont pas de "vraies" fréquences comme en acoustique, mais des fréquences au sens justement de shanon et de la théorie de l'information/signal. Ce sont pas de vraies fréquences, parce que justement, pour un son pseudo périodique ( donc les seules où la notion de fréquence a un sens "commun" ), la limite généralement admise est bien 20 khz, là. ( quand t'es jeune, que tu vas jamais en boîte, et que tu n'a jamais de walkman :bravo: ).

maintenant, tout le débat, c'est de savoir si pour un signal musical, l'oreille a besoin des informations au delà des fréquences de 20 khz ( au sens signal ).

Citation :
Essayez avec seulement 2 points par periode poses sur un graphique de reconstitue un signal ... Ok si c'est un sinus parfait on y arrive, mais la musique n'a absolument rien d'UN sinus ... Alors quel etait le signal d'orogine ?!.



si c pas un sinus, et qu'on a que deux points par période, ca veut tout simplement dire que l'on a pas echantillonné à 2x la fréquence max.

Citation :
De plus en analogique la bande passante de 20Khz est donnee pour -3dB, les frequences plus hautes sont attenuees a 6dB/octave



Ouais, enfin les HP appliquent là dessus des trucs bien pires. Ne pas oublier que le signal, on l'entend avec des HP, en général. Et la bande passante de ces trucs là va pas beaucoup au delà de 20 khz... Avoir une BP de 192 khz, ça sous entend que les hp peuvent à peu près restituer du 60-70 khz correctement. La, c'est sûr, les enceintes de monitoring comme hi fi ne le font pas, mais alors pas du tout.

Déjà entre 44.1 et 96 khz sur le support, 0.00001% des personnes entendent une différence nette. Perso, d'après ma propres expérience, le SACD en 96 khz sonne plus mal que le cd ( sur un matos vraiment bon ) ! Et d'autres pensent le contraire. Et le dvd audio, j'attends d'être convaincu.

Tout ça, on peut pas en tirer des généralités.

Citation :
Tout simplement parcqu'en echantillonant a 44KHz on enleve des tas d'infimes details qui pourtant sont necessaires a l'oreille pour situer un son avec precision.



Non. C'est au mieux une hypothèse, proposée en premier par ooashi en 91-92, je crois. Et de toute façon, ça ne parlait pas spécifiquement de musique. Jusqu'à maintenant, les quelques psychoacousticiens avec qui j'ai parlé de ce pb qui m'intrigue depuis un bout de temps déjà, m'ont dit que c'est vraiment discutable, et de toute façon, n'est pas le plus important dans ce débat, j'ai l'impression. Puis la bande passante dans les aigus, ça joue pour les transitoires, pas vraiment pour la chaleur du son, tout vague que ce terme puisse être.

Le coup du 96 khz, et maintenant du 192, je pense que c'est surtout un gros pipo marketing, pour nous refiler entre autre un support autre que le cd, dont on matrise mieux les dispositifs anti copie. Déjà que le mp3, quasiment personne n'arrive à le différencier d'un CD dans des bons encodages...

Maintenant, comme je l'ai déjà ecrit pleins de fois, il y a des différences entre le numérique et l'analogique, au niveau du support, évidemment. C'est flagrant. Mais c'est subtil à expliquer ( on sait pas trop, encore, pour tout dire ), ça depend beaucoup de ce qui est enregistré, du style de musique. Un ex : parfois, en numérique, en jazz, le silence est un vrai silence, assez gênant pour ceux habitués au vynil. :oo: Le vynil apporte une compression naturelle au son, le distord d'une manière chaude ( distortion en numérique -> bam, plein d'aliasing aprtout dégueulasse ), qui dépend d'ailleurs énormément de la forme de la tête, je crois ( boule, ellipse, triangle, etc... ).

Puis entre des convertisseurs crystal à 10 balles, et des apogee, ben tu vois ce que ça veut dire, une différence de sonorité -> faut voir de quel convertisseur on parle. Sans oublier non plus que les convertisseurs ont bien évolué : des premiers trucs assez affreux, avec à peine 12 bits de précision, on est passé à beaucoup mieux. On maitrise beaucoup mieux le jitter, ce genre de choses.
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Tout est là (pour les matheux ;-)

http://ourworld.compuserve.com/homepages/pierrecorrieu/plc_shan.htm