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Des demis tons, de la musique et des maths. de l'aide donc;-)

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Des demis tons, de la musique et des maths. de l'aide donc;-)
#1
Bonjour,

j'ai commencé depuis à m'interresser à la théorie musicale... Et déjà les complications commencent. Je vous fais part de mon problème, en tâchant d'être clair :| , afin que certains d'entre vous puissent m'avancer sur le sujet.

il est dit, dans un livre théorique prévue à cet effet :

Citation : "D'Alembert dans ses Elements de musique (1752) insiste sur les douzes dmis-tons de la gamme tempérée. On passe dans ce cas de la fréquence f à la fréquence de 2f par 12 multiplications successives par un certains nombre k. Ainsi comme k à la puissance de douze est à égale à deux, k est égale à puissance de douze de racine carré de deux (vous visualisez l'équation :???: justemement c'est ça mon problème, ça donne problème un truc du genre k=12V2 :| ) "



Ce que je ne comprends pas est somme toute assez mathématique (heu oui je suis pas matheux pur et dur :??: , mais j'aime beaucoup les maths... c'est les math qui ne m'aiment pas :mdr: :lol: ) : cette foutue de puissance qui passe de l'autre coté de l'égalité, cette puissance de douze juste devant la racine carré de deux, elle implique quel calcul??? N'auriez vous pas des images pour m'expliquer cette histoire de multiplication de fréquence des demis tons?

désolé d'être aussi indigeste, en espérant que quelques musiciens érudits comprendront ce topics (parce que ce n'est qu'un début, des questions de ce genre j'en ai à la pelle :bravo: :bravo: :bravo: )

restez peace, restez zen :clin:
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#2
Je flag.
mais c'est venere ton sujet de si bon matin...t'en a revé toute la nuit :?:
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#3
Oui :|
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#4

Citation : les douzes dmis-tons de la gamme tempérée



Citation : k à la puissance de douze est à égale à deux



C'est toute l'histoire des tempéraments. L'écart de hauteur entre deux notes contenues dans une octave n'est pas le même d'un tempérament à l'autre. La gamme tempérée a ses propres valeurs d'intervales. k étant le multiplicateur qui permet de passer d'un intervale à l'autre. k à la puissance 12 permet de passer d'une note à son octave supérieure. Si ça peut te permettre de tenir jusqu'au déjeuner... :boire:
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#5
Je ne sais pas si je réponds exactement à ta question mais la résolution est la suivante :

k^12 = 2 (nota : k^12 signifie que k est élevé à la puissance 12)

d'où k = 2^(1/12), c'est à dire la racine douzième de 2 (remarque k ~ 1.0595)

ainsi cette expression :

Citation : Ainsi comme k à la puissance de douze est à égale à deux, k est égale à puissance de douze de racine carré de deux



Est fausse ou mal dite. C'est la racine douzième de 2 et non la puissance de douze de racine de deux qu'il convient de dire.

En fait :

k^x = y <=> k = y^(1/x)

Par exemple : 5^2 = 25 <=> 5 = 25^(1/2) (la puissance 1/2 est la racine carrée)
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#6

Citation : mais c'est venere ton sujet de si bon matin...t'en a revé toute la nuit



Citation : Oui



woaw :8O:
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#7

Citation : N'auriez vous pas des images pour m'expliquer cette histoire de multiplication de fréquence des demis tons?



Pour être un peu plus complet et répondre à cette question, il faut savoir que dans le tempérament égal (cas des pianos, guitares...) les demis tons sont construit par la multiplication de ce facteur k et de la fréquence f.

Ainsi k = 2^(1/12) = 1.059463094 (c'est inutile d'être plus précis.

Supposons que ta fondamentale soit le La à 440 Hz
Le la# aura une fréquence = 440 x k = 466.16 Hz
Le si aura une fréquence = 440 x k x k = 440 x k^2 = 493.88 Hz
et ainsi de suite. Par exemple, la quinte de la est le mi ; le mi est situé 7 demi tons au dessus du la (en fait, une quinte est toujours situé 7 demi tons au-dessus de la fondamentale).
Le mi aura donc une fréquence de 440 x k^7 = 659.26 Hz

A présent, si tu t'intéresses aux instruments non tempérés (violons, contrebasse...), il te faut savoir que, dans ce cas, c'est le principe de la division de la corde vibrante qui prévaut et celui du cycle des quintes (ça date de pythagore). Pour trouver la quinte d'une note, on fait vibrer une corde à une certaine fréquence, mettons 440 Hz pour faire simple, et on place un obstacle (un doigt sur la touche) à 2/3 de la longueur de cette corde. La fréquence, pour la quinte, sera donc égale à 3/2 fois la fréquence initiale, soit, dans ce cas, 440 x 3/2 = 660 Hz, donc très proche de la valeur du tempérament égal mais pas exactement la même.
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#8
Merci beaucoup vos réponses m'ont bien aidées, pour cette histoire de calculs de demis-tons de la gamme tempérée tout est clair.

j'aurais donc une nouvelle questions (vive les forums :bravo: ) cette fois-ci sur le son numérique...

on sait que les techniques numériques ont mis en évidence un nouveau champ de relation entre mathématiques et musique, la numérisation du son dérivant elle-même d'applications mathématiques. Cette numérisation consiste je crois à supléer l'onde définie par la mesure p(t) de la pression p de l'air ambiant en fonction du temps t, par une suite pn(t) dite d'"échantillonnage". Ma question est bête et tordue : dans cette formule simple quelle propriété du son est numérisée? la pression sur l'air ambiant :???: . Qu'est-ce qui dans une structure numérique produit les vibrations nécéssaire à l'émission du son?? :oo: (houlala ça se gate dans mon crâne là:|)

merci pour votre aide :mdr: :mdr:
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#9
Ici :
http://www.commentcamarche.net/audio/son.php3
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#10
Merci :bravo:
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#11
Ok donc j'ai lu, cela concerne les instruments "physiques" que l'on amplifie, enregistre et échantillonne. Mais pour la synthèse sonore il n'y pas d'instruments physiques, tout est fait a partir de calculs et là était ma question : comment ces calculs créent de l'onde sonore (par exemple la synthèse fm)à partir de cartes informatiques.

merci :bravo:
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#12
Tu veux parler du MIDI ?
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#13
Je ne pensais pas au midi, mais si cela est issue de la synthèse sonore alors oui (je pensais peut être à tort que le midi c'était justement de l'échantillonnage, c'est à dire enregistrer la fondamentale puis à partir de celle-là à creer les hauteurs comme sur les vieux clavier casio à trois francs six sous :mdr: ) non je pensais comme je l'ai dit à la synthèse fm (il doit y avoir d'autres exemples) qui crée de sons naturels et inédits et qui (comme ce ne sont pas des échantillons) ne se stabilisent jamais autrement dit evolue toujours :8O:, j'ai bien trouvé un truc mais c'est tout en anglais alors si vous avez des références en français je suis preneur et repreneur

:bravo:
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#14
Désolé, mais là ça dépasse un peu mes compétence :|
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#15
Oulala tu te compliques la vie toi :ptdr:

Pour tes questions faut comprendre comment le son est traité, créé, enregistré en général... Y a deux types de conversions qui sont effectuées, analogique/numérique et électrique/pression.

Le principe du haut parleur par exemple : on a une membrane vibrante, qui est excitée par un signal électrique, celui contenant le son (en analogique), et la membrane en vibrant va créer des variations de pression en fonction de ce signal... Et une variation de pression d'air, c'est ce qu'on appelle une onde sonore. Si on prend un microphone, le principe est le même mais en sens inverse : une membrane va vibrer en fonction des ondes sonores qu'elle reçoit et cette variation va créer un signal électrique. D'ailleurs, des fois ce fonctionnement est réversible : on peut très bien s'amuser à s'enregistrer avec des écouteurs !! Mais faut pas s'attendre à un super son :clin:

Pour les conversions analogiques/numériques, le fonctionnement est un peu plus compliqué, mais en gros ça permet de transformer un signal électrique analogique en une suite de 0 et de 1 assimilables par de l'équipement informatique (lorsqu'on s'enregistre sur son PC), et l'inverse pour pouvoir écouter par exemple un mp3 sur ses enceintes...

Pour la synthèse FM par exemple, il y a des manipulations de signaux simples sous forme numérique (pour plus de détails, cherche toi un dossier sur la synthèse sonore, y'en a un sur AF il me semble) qui vont créer de multiples sons, puis ceux-ci seront mis sous forme analogique pour être envoyés sur des enceintes...

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#16
Bonjour,

J'ai une question en relation avec le titre de cette discussion.
Pourquoi on n'envisage jamais de sortir de l'octave et la relation de 2 quand on calcule le demi-ton avec le facteur "k" ?
En sachant que le "k" de la quinte est plus grand de celui de l'octave(donc en math-la 12em racine de 2 est < que la 7em de 1.5), pourquoi n'essaye t-on de reconcillier les deux facteurs et d'obtenir le temperament egal ideal ?
Prenons une quinte juste La (440 hz)- Mi(660 hz).
En acoustique on connait bien les dites "differentiels".
Dans ce cas la difference entre les deux frequences nous donne 660-440=220hz.
C'est un La "fantome" a l'octave juste au dessous de la fondamentale(440 hz) qui apparait. Maintenant si on commence a baisser le Mi les demi-tons de cette quinte commenceront a retressir et en meme temps ceux de l'octave fantome - de s'elargire. Donc forcement il y a un moment quand les deux "k" seront egaux ! Si on retenait ce "k" comme facteur du demi-ton universel ?
Et si on l'utilisait dans un temperament egal ?
On en finira une fois pour tout avec le probleme de justesse et on aura la liberté de modulations a l'infini.
Est-ce une utopie ou pas ? :??:
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#17

Citation : En sachant que le "k" de la quinte est plus grand de celui de l'octave(donc en math-la 12em racine de 2 est < que la 7em de 1.5)



:?: :non: Le coefficient k (dans le tempérament égal) est constant (k = 2^(1/12)). Il n'est donc pas plus grand pour la 5te que pour l'octave.

Citation : si on commence a baisser le Mi les demi-tons de cette quinte commenceront a retressir et en meme temps ceux de l'octave fantome - de s'elargire. Donc forcement il y a un moment quand les deux "k" seront egaux !



J'ai du mal à comprendre le sens de cette proposition. Si f5 est la fréquence d'une quinte, sachant que celle-ci s'obtient par f5 = f1*k^7 (où f1 est la fréquence de la fondamentale), le rapport des fréquences f5/f1 = k^7, quelle que soit f1 et en particulier si f1 = f5'-f1' (où f5' et f1' sont des fréquences situées à une octave au dessus de resp. f5 et f1).

Cela étant, si f1 = f5'-f1' (vrai dans le tempérament naturel), il faut remarquer que cela n'implique pas, dans le tempérament égal, que f1'= 2f1. En effet, ton choix de la = 220 est vrai si la quinte = 660, or, elle vaut 659.25 Hz dans le tempérament égal (et non 660 Hz). Autrement dit, il ne faut pas faire des opérations en mélangeant les tempéraments.
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#18
Citation:


" Le coefficient k (dans le tempérament égal) est constant (k = 2^(1/12)). Il n'est donc pas plus grand pour la 5te que pour l'octave. "

Un temperament egal se characterise par le fait que tous les demi-tons sont egaux. On peut avoir des milliers des temperaments egaux en prenant des valeurs differents pour ce fameux "k".
Si a la place de l'octave on prennait la quinte juste ? Elle a 7 demi-tons-donc on cherche la 7 éme racine de 1.5 (au lieux de 2^(1/12)).
Le "k" ainsi obtenu peut parfaitement servir pour la construction d'un tempérament egal. Le fameux TEQJ de Serge Cordier(voir son livre "Le piano bien temperé et la justesse orchestrale") utilise exactement ce type de "k".

Citation:

"J'ai du mal à comprendre le sens de cette proposition. Si f5 est la fréquence d'une quinte, sachant que celle-ci s'obtient par f5 = f1*k^7 (où f1 est la fréquence de la fondamentale), le rapport des fréquences f5/f1 = k^7, quelle que soit f1 et en particulier si f1 = f5'-f1' (où f5' et f1' sont des fréquences situées à une octave au dessus de resp. f5 et f1). "

C'est si difficile de sortir des chantiers battues ?

Dans mon exemple la quinte est juste, donc elle est 660 hz et le La reste 440. Le ton differenciel (resultant de la difference des deux frequences) forme bien une octave qui, elle, est juste aussi. Donc on a déja deux intervalles justes en même temps qui n'est pas possible car les demi-tons qui les composent ont different largeur !
Pour les egaliser et obtenir une valeur commune on commence a baisser la quinte.
Tout le temps je parle d'une intervalle et de la façon d'obtenir un "k" qui satisfait a la fois l'octave et la quinte en transformant les deux de façon different. La quinte retressit tandis que l'octave s'elargit.
Avec le nouveau "k" on construit un nouvel tempérament qui est universel et dans lequel il n'y a aucune intervalle juste. C'est un moyen unique de preserver la justesse même si ça parait illogique en pratique c'est manifique ! :aime:
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#19

Citation : Si a la place de l'octave on prennait la quinte juste ? Elle a 7 demi-tons-donc on cherche la 7 éme racine de 1.5 (au lieux de 2^(1/12)).



Bien sûr. De la même façon que l'on pourrait chercher des 1/4 de tons par la valeur k=2^(1/24) par rapport à l'octave. On peut faire ce qu'on veut. Le pb est d'en trouver un intérêt pratique.

Citation : Dans mon exemple la quinte est juste, donc elle est 660 hz et le La reste 440



Elle est *juste* dans le tempérament naturel, qui date de pythagore qui consiste à trouver la valeur de la fréquence de la 5te à 2/3 de la longueur de la corde vibrante (soit f5 = 3f1/2). Dans le tempérament égal, la notion de 5te juste n'a pas plus de sens que celle de 3erce ou 2de justes. Chaque fréquence dérive d'une progression géométrique de raison k.

Citation : Tout le temps je parle d'une intervalle et de la façon d'obtenir un "k" qui satisfait a la fois l'octave et la quinte en transformant les deux de façon different.



J'ai toujours du mal à saisir l'intérêt de ce genre de problématique.
Si on se fixe sur la quinte k5 = 1.5^(1/7) = 1.059634
Si on se fixe sur l'octave k8 = 2^(1/12) = 1.059463
La différence est de 0.00017
Je crois qu'on cherche un peu à enculer les mouches (passez-moi l'expression) à chercher un k qui satisfasse aux deux cas. Je conçois qu'on puisse se poser ce genre de problème. J'imagine que pour en arriver là, il faut en avoir résolu bien d'autres. Ce n'est (hélas ?) pas mon cas. bon trip en tout cas :8)
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#20
L'intérêt pratique ?

J'était toujours un peu revolté que on sais bien c'est quoi 1 cm, 1 sec , 1 gramme mais on ne nous a jamais expliqué c'est quoi un demi-ton !
Maintenant j'ai fait des études poussés dans le domaine de l'accoustique et je suis rassuré quand je joue sur mon violon. Même j'ai changé la façon de m'accorder de coup :) J'ai compris que la justesse n'est pas une mystére et même des musiciens moins doués peuvent l'etudier et progresser pour jouer juste. Car les piéges une fois démasqués tout devienne clair et simple.
La justesse maitrisée on peut faire ensuite de la vrai musique !

Citation:

"J'ai toujours du mal à saisir l'intérêt de ce genre de problématique.
Si on se fixe sur la quinte k5 = 1.5^(1/7) = 1.059634
Si on se fixe sur l'octave k8 = 2^(1/12) = 1.059463
La différence est de 0.00017 "

N'oublions pas que 0.00017 de difference dans un coefficient c'est énorme !!!
On utilise environ 88 notes dans un piano. Imaginez la difference finale quand on multipilie 88 fois avec le "k". Les battements des intervalles changent completement ect

Et pour en finir-moi je considere la justesse comme la prononciation de l'alphabet. Si on ne prononce pas bien les lettres comment citer des poesies ? :clin:
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#21

Citation : J'était toujours un peu revolté que on sais bien c'est quoi 1 cm, 1 sec , 1 gramme mais on ne nous a jamais expliqué c'est quoi un demi-ton !



Dans le tempérament égal, 1/2 ton est le rapport k=2^(1/2) entre deux notes successives. Cette définition a le mérite d'être claire. Elle ne coïncide évidemment pas avec les instruments non tempérés comme le violon ou la contrebasse (étant contrebassiste, je sais ce que c'est que devoir *m'ajuster* à l'orchestre) mais on le sait parfaitement.

Citation : N'oublions pas que 0.00017 de difference dans un coefficient c'est énorme !!!
On utilise environ 88 notes dans un piano. Imaginez la difference finale quand on multipilie 88 fois avec le "k". Les battements des intervalles changent completement ect



Les pianos sont accordés selon le tempérament égal basé sur l'octave et non sur la quinte. C'est purement conventionnel je pense mais il me paraît difficile de faire sans.
Si on devait accorder sur la quinte, nous aurions des pb avec l'octave car on n'arriverait pas à avoir f8=2f1. On se retrouverait avec un pb de type comma comme avec les instruments non tempérés. Trouver un k qui réponde aux exigence de la quinte juste et de l'octave me paraît relever de la quadrature du cercle. Je me demande m^me si c'est nécessaire.

Citation : Et pour en finir-moi je considere la justesse comme la prononciation de l'alphabet. Si on ne prononce pas bien les lettres comment citer des poesies ?



Les poésies changent également. Il fut un temps où l'on ne pouvait envisager écrire un poème sans respecter les règles de constructions des vers, des pieds... A présent la poésie est descendu dans la rue, si j'ose dire. Ce n'est pas plus mal.
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#22
Citation:


"Dans le tempérament égal, 1/2 ton est le rapport k=2^(1/2) entre deux notes successives. Cette définition a le mérite d'être claire. Elle ne coïncide évidemment pas avec les instruments non tempérés comme le violon ou la contrebasse (étant contrebassiste, je sais ce que c'est que devoir *m'ajuster* à l'orchestre) mais on le sait parfaitement."

Ok, c'est bien vrai tout ça. Je me suis posée la question en travaillant mon violon...
Un petit conseil- essaye de t'accorder le plus bas en general et a quartes bien larges(maximum possible pour l'oreille) et tes problemes d'ajustement vont s'estomper :clin: (Les harmoniques en general sont assez courts et quant on les utilise pour s'accorder on risque toujours a prendre le sol trop haut !)

Citation:

"Les pianos sont accordés selon le tempérament égal basé sur l'octave et non sur la quinte. C'est purement conventionnel je pense mais il me paraît difficile de faire sans.
Si on devait accorder sur la quinte, nous aurions des pb avec l'octave car on n'arriverait pas à avoir f8=2f1. On se retrouverait avec un pb de type comma comme avec les instruments non tempérés. Trouver un k qui réponde aux exigence de la quinte juste et de l'octave me paraît relever de la quadrature du cercle. Je me demande m^me si c'est nécessaire."

Chaque accordeur de piano affirmera que des octaves justes ne sont pas utilisés massivement lorsqu'on accorde un piano. Il y a une tendance a l'expanssion car pour l'oreille une octave physiquement juste est trop etroite. En plus la brillance des aigues s'obtienne justement avec des octaves plus larges(1-2 cents en plus, pas plus !)
Dans ma proposition je n'emplois pas un "k" qui repond aux exigences de l'octave juste et de la quinte juste car il n'y a pas d'interval juste en service :) Tout simplement ainsi on reconcillie mieux l'octave et la quinte que dans le temperament egal a octave juste...

Citation:

Les poésies changent également. Il fut un temps où l'on ne pouvait envisager écrire un poème sans respecter les règles de constructions des vers, des pieds... A présent la poésie est descendu dans la rue, si j'ose dire. Ce n'est pas plus mal.

Absolument d'accord avec la liberté dans la poésie !
Neanmoins pour "casser" les régles il faut les connaitre :8)
Et la justesse dans la musique est primordiale ! Des libertés avec l'intonation rélevent tout simplement manque de musicalité :(((
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#23
Flag.

j'avais jeté un coup d'oeil sur le bouquin "tempérament et justesse orchestrale" du gars, et sa fameuse "nouvelle méthode".

je ne me souviens plus très bien, ça reposait sur quoi, en resumé ?
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#24
"Le piano bien temperé et la justesse orchestrale"
Serge Cordier

En resumé il a essayé d'utiliser la quinte a la place de l'octave comme intervalle juste.
Dans sa méthode tous les quintes sont justes, mais les octaves se retrouvent dilatées un peu trop a mon goût... :non:
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#25
Ça doit faire bizarre, à l'écoute... surtout qu'on est habitués depuis tout petit aux octaves justes.

ça donne quoi à l'écoute?
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