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Sujet TIPE

  • 37 réponses
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Sujet de la discussion Sujet TIPE
Bonjour, j'aurai besoin de conseils pour mon sujet de TIPE j'ai choisis de m'attaquer à la synthèse numérique, et je souhaite faire une application sur le piano et les clavier numérique.
Pour mon expérience j'aimerais essayer de recréer la gamme majeure et la comparé à celle de mon clavier numérique. Qu'en pensez-vous et est-ce réalisable en sachant que j'ai tout de même des connaissances en élec et du matos.
Merci
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Salut,


Oui en utilisant la transformée de Fourier (pas la décomposition en série). C'est, en gros, un cas particulier de la transformée de Laplace.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Transformation_de_Fourier
Pour un signal continu s(t) à valeurs dans |R (une fonction du temps), la transformée de Fourier donne une fonction des fréquences S(f) à valeur dans C (fréquence ou pulsation en rad/s. Tu travailles comme tu veux ; il faut juste faire attention à des termes de normalisation). Le module de S(f) permet d'estimer la puissance spectrale.


Tu trouveras la plupart des fois le nom de "densité spectrale de puissance" (DSP) : En réalité le signal s(t) est représenté par un processus stochastiques (une suite de variables aléatoires indexées par t). C'est de cette façon que l'on peut modéliser correctement les bruits (genre un erreur aléatoire sur une série de mesures) ou même les signaux issus d'un phénomène chaotique (ex : en audio le souffle d'une flûte).
La densité spectrale de puissance doit être définie comme l'espérance mathématique du module de la transformée de Fourier du processus stochastique...
... Je te l'indique pour t'apporter un éclairage mais je te conseille d'éviter le sujet en traitant le cas d'un signal déterministe, sinon tu devras expliquer la différence entre la moyenne d'ensemble, la moyenne temporelle, la stationnarité au sens large d'un signal, l'hypothèse ergodique. Bref, des trucs bien hors programme et qu'il n'est pas si simple de s'approprier.


Bon, ceci étant précisé, l'idée du théorème d'échantillonnage est de comparer la DSP d'un signal continu avec la DSP de son homologue échantillonné :
- Tu te donnes un signal s(t),
- Tu supposes connue sa DSP, ou plutôt sa transformée de Fourier S(f),
- Tu considères se(t) qui est le signal échantillonné construit à partir de s(t) (c'est une distribution, j'y reviens après),
- Tu calcules Se(f) en fonction de S(f), et tu compares.

Je vais noter . la multiplication sur les complexes et * le produit de convolution (et me relire à la fin pour vérifier que je ne me suis pas planté :p)
Je surcharge un peu les notations en précisant l'argument s(t), S(f) pour montrer si l'on est bien dans le domaine temporel ou dans le domaine des fréquences.

Se(t) est le produit (temporel) de S(t) avec un peigne de Dirac ⧢(t); le peigne de Dirac est lui-même la somme d'impulsions de Dirac décalées de plusieurs périodes Te ( = 1/Fe, la période d'échantillonnage) :
⧢(t) = Σ δ(t-n.Te), avec n allant de -∞ à +∞.

A chaque instant t :
se(t) = s(t).⧢(t)

Comme avec Laplace, la transformée de Fourier Se(f) de se(t) est le produit de convolution des transformées de s(t) et de ⧢(t) :
Se(f) = S(f)*⧢(f)

Reste à calculer la transformée de Fourier ⧢(t) :
⧢(f) = ∫ ⧢(t).exp(-i.f.t).dt = ∫ Σ δ(t-n.Te).exp(-i.f.t).dt =...
... = Σ ∫ δ(t-n.Te).exp(-i.f.t).dt

Et ∫ δ(t-n.Te).exp(-i.f.t).dt = exp(-i.n.f/Fe)
⇒ ⧢(f) = Σ δ(f-n.Fe)
Un autre peigne de Dirac. Ce n'est pas le résultat le plus simple à établir mais je préfère te laisser chercher pour t'en convaincre (en même temps, avec une recherche Google tu devrais trouver ça tout fait).

⇒ Se(f) = S(f)*⧢(f) = Σ S(f)*δ(f-n.Fe) = Σ ∫ S(f-w).δ(w-n.Fe).dw = Σ S(f-n.Fe)


Et voilà, tu obtiens que Se(f) est la sommes des S(f) translatés de n.Fe.

Ceci implique le problème du repliement spectrale : Dès que la largeur de S(f) (i.e. l'intervalle de f où S(f) est non nulle ; la bande de fréquences qui contient s(t)) dépasse Fe alors les translations successives et la somme créent des zones où les S(f-n.Fe) se recouvrent dans Se(f).
Il est alors impossible de récupérer S(f) (et donc s(t)) à partir de Se(f) (et donc de se(t)).

Si la largeur de S(f) est inférieure à Fe, alors il suffit de récupérer le contenu de la bande qui nous intéresse dans Se(f) pour reconstruire s(t) à partir de se(t) sans perte d'information.
Le "il suffit" est un peu léger : En vérité le filtre parfait, en forme de porte, n'est pas réalisable dans la pratique. Il a toujours des problèmes au bord de la bande à cause du filtre qui ne peut pas être infiniment "raide".
Le problème est contourné en échantillonnant à une fréquence un peu supérieure à ce qui est nécessaire pour restituer la bande utile.

Un autre truc qui n'est pas anodin : Un signal réel donne une transformée de Fourier "symétrique". S'il y a du contenu à une fréquence f alors il y du contenu à la fréquence -f (si ça ne te saute pas au yeux regarde tout simplement ce qu'il se passe avec la transformée d'un sinus, ou alors regarde la transformée inverse).
Du coup un enregistrement audio qui couvre une bande de 0 à F donne en réalité une transformée de Fourier de largeur 2.F allant de -F à F ⇒ Il faut que Fe = 2.F minimum.

Mais ce n'est pas la fréquence la plus élevée qu'il faut regarder car c'est bien la largeur de la bande qui compte.
Une bande allant de F à 2.F peut être échantillonnée à Fe = 2*(2.F-F)) = 2.F sans recouvrement et restituée correctement : Il faut que le filtre qui récupère le signal continu choisisse la bonne bande.

[ Dernière édition du message le 18/03/2014 à 09:43:26 ]

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Hors sujet :
Va bientôt falloir demander aux admins d'installer https://www.mathjax.org/ sur audiofanzine ;-)

beulogue !

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Hors sujet :
Je n'aurais plus qu'à apprendre à m'en servir... ouch
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Désolé de répondre si tardivement mais avec l'arrivée prochaine des concours ce n'est pas facile.
Tout d'abord merci infiniment EraTom et j'en profite car j'ai quelques questions à te poser.
Pourquoi a-t-on introduit les gabarits, je crois si je ne me trompe que c'est lié au fait que le filtre idéal n'existant pas, on peut le représenter dans le domaine fréquentiel par une fonction porte et si on effectue sa transformer inverse de Fourier on obtient le sinus cardinal qui montre bien que ce n'est pas une fonction causal et donc il nous faut une autre représentation, d'où les gabarits?
Autre chose on constate que les filtres de Butterworth offre l'avantage d'avoir une fréquence de coupure à -3 dB et ce peut importe le degré mais concrètement qu'est-ce que ça représente comme avantage par rapport à un filtre de Tchebycheff? Et aussi tu me rappelles que les filtres de T oscillent dans la bande passante et atténué mais même question j'ai du mal à percevoir ce que c'est physiquement.
Pour le filtrage numérique, approximation D/I, Tustin,... je vais m'y lancer donc pas grand chose à dire dessus.
En ce qui concerne la démo de Dirac je dirais que c'est du tout bon car tu me la vraiment très bien expliqué en détail.
Merci
30
Salut,

Ne t'en fais pas, je me rappelle très bien du "temps libre" dont je disposais en prépa...

Le problème n'est pas la causalité (tu peux toujours placer des retards pour décaler le signal et "remonter le temps"). Le problème vient plutôt du nombre de coefficients du filtre : La porte idéale présente une pente infinie à la fréquence de coupure qui demande un nombre infini de coefficients. L'enveloppe du sinus cardinal va décroissante mais ne sera jamais nulle or dans la pratique on ne peut bien sûr pas réaliser un filtre avec une infinité de coefficients (pour chaque échantillon il faudrait calculer une infinité de sommes / produits.

En tronquant la réponse impulsionnelle (le fenêtrage) pour garder les N premiers coefficients on s'écarte fatalement du filtre idéal en porte.


Idem pour la synthèse des filtres à réponse impulsionnelle infinie : La pente du filtre à la coupure dépend directement du degré du polynôme au dénominateur de sa transformée (de Laplace ou en Z, c'est vrai dans les deux cas). Pour une pente infinie il faut un ordre infini.
On peut montrer que pour un nombre identique de coefficient un filtre RII sera plus proche de la porte qu'un filtre RIF... mais plus l'ordre est grand plus il y a de pôles et plus il y a de risque de problème de stabilité.


Tout ça pour dire qu'il n'y a pas de solution miracle. Bien souvent le "meilleur filtre" sera celui qui répond au besoin de l'application en présentant le plus petit nombre de coefficients (en assurant la stabilité).
C'est alors que le gabarit du filtre permet de résumer les caractéristiques clefs liées à l'application.

Par exemple pour l'audio, si l'on veut échantillonner dans le but de mettre le signal sur un CD :
- Notre oreille est sourde dès 20kHz ; la bande qui nous intéresse se trouve entre 0Hz et 20kHz ;
- Le CD permet de graver un signal échantillonné @44kHz et donc de représenter une bande allant de 0 à 22kHz.

Ce qui donne pour le filtre anti-recouvrement :
- De 0Hz à 20kHz il faudrait qu'il ne modifie pas le signal parce que c'est la bande que l'on va écouter;
- Pour tout ce qui est au-dessus de 22kHz il faut qu'il atténue sévèrement pour qu'il n'y ait pas de repliement.
- Entre 20kHz et 22kHz... Le filtre fait comme il veut, on s'en moque.

En traduisant ceci dans un gabarit de filtre :
- Pour la partie allant de 0 à 20kHz on veut une réponse "la plus plate possible" pour ne pas modifier le contenu spectrale de la bande d'intérêt : On ne veut pas booster les basses ou les aigus et on cherche le filtrage "le plus neutre possible"). En clair, de 0 à 20kHz on veut un filtre dont le gain colle 0dB.
- Pour tout ce qu'il y a au-delà de 22kHz on veut qu'il atténue d'au moins... disons 100dB. S'il atténue d'avantage tant mieux, mais il faut qu'il ait un gain maximum de -100dB
- De 20kHz à 22kHz c'est la transition entre la bande passante et la bande atténuée ; nous n'avons pas besoin que le filtre soit plus raide que ça.

x
Hors sujet :
Mine de rien, je viens de te faire une mini "analyse du besoin" "spécification technique" "déclinaison d'exigence" qui est un processus important du travail d'ingénieur... trop souvent bâclé et qui finit par mener des projets dans le mur.
C'est du "management" et de la qualité ; des trucs qui ne passionnent pas vraiment les ingé car loin de la technique pourtant, d'après mon expérience, 9/10 ce n'est pas à cause d'un problème technique qu'un projet capote mais plutôt parce que la déclinaison des fonctions techniques n'a pas été faite correctement.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Analyse_fonctionnelle_%28conception%29
https://fr.wikipedia.org/wiki/Exigence_%28ing%C3%A9nierie%29


Citation :
les filtres de Butterworth offre l'avantage d'avoir une fréquence de coupure à -3 dB et ce peut importe le degré mais concrètement qu'est-ce que ça représente comme avantage
Ce n'est pas un "avantage", c'est simplement une caractéristique parmi d'autres.
Le gros avantage du filtre de Butterworth est que c'est le filtre qui présente la réponse la plus plate possible dans la bande passante.

Regarde ces graphiques :
https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Electronic_linear_filters.svg

Ils présentent les réponses fréquentielles des 4 types de filtres RII possibles pour un ordre donné (ils ont tous le même nombre de coefficients) qui coupent à la moitié de la bande.

Avec le gabarit que je t'ai donné pour le CD, les choix possibles sont le filtre de Butterworth ou le filtre de Tchebychev 2.
Les deux autres sont à écarter car ils ne sont pas plats dans la bande utile alors que c'est un point souhaité.

Entre Butterworth ou le filtre de Tchebychev 2 il faudrait avoir un critère plus fin pour savoir ce qui importe le plus entre la raideur plus importante du filtre de Tchebychev et la réponse plate du Butterworth.


Pour la petite histoire, j'avais travaillé sur un projet audio bas-coût où l'enregistrement était pourri. Le signal était numérisé ; avant l'enregistrement il subissait systématiquement une correction tonale : En clair il passait dans un EQ.
J'ai viré le filtre d'anti-recouvrement pour mettre un filtre elliptique à la place dont les oscillations dans la bande utile correspondaient à la correction de l'EQ.
Comme le filtre elliptique est particulièrement raide, j'ai pu réduire son ordre et rentrer dans le gabarit de coupure : Filtre d'anti-recouvrement plus simple (moins de coefficients), EQ devenu inutile (et donc retiré) juste en ajustant le gabarit au besoin réel...
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Hello,

C'est très intéressant, mais il faudra certainement que tu épures un peu ton sujet:
- soit tu parles de synthèse, (l'additive est à mon avis la plus pédagogique, la soustractive peut également être intéressante...mais il faut avoir de bonnes bases en filtrage...et le bouquin d'Oppenheim ne se lit pas en une soirée :aime:)
- soit tu parles de la conversion AN, des problématiques d'échantillonnage, de repliement, etc
- soit tu parles d'analyse spectrale (la encore, pour faire ça proprement il faut un excellent bagage..et le bouquin de Stoica ne se digère pas en une nuit ;))

Perso, je te conseillerai de faire de la synthèse additive. Plus précisement, tu peux parler d'analyse-resynthèse. Pour l'analyse, tu pourras introduire rapidement le temps-frequence.

Sinon, si tu es intéressé par le signal, n hésite pas a faire un tour sur ma nouvelle appli www.sp4mass.com. Tu pourras faire de la synthèse, du filtrage et de l analyse en ligne. Je suis preneur de tous commentaires.

Site personnel: https://www.enib.fr/~choqueuse/

[ Dernière édition du message le 27/04/2014 à 09:49:01 ]

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Hors sujet :

 

Choc ! Long time no see !  icon_biggrin.gif  icon_boire.gif

Je me penche sur ton app prochainement !

 

 

 

"C'est blazman legacy ici" (Apocryphe) / Live music / Soundcloud
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Hors sujet :
Hello Aka, alors quoi de neuf depuis le temps ;)

Site personnel: https://www.enib.fr/~choqueuse/

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Me revoilà après un petit mois d'absence (concours oblige), j'ai pu enfin bien dégrossir le sujet mais il me reste tout de même quelques questions.
Tout d'abord en qui concerne le thm de shannon-nyquist j'ai un souci d'ordre mathématique: l'interversion somme intégrale, je n'arrive pas à la justifier, la convergence uniforme ne me semble pas acquise pour la transformée de fourier
En ce qui concerne l'approximation linéaire j'ai fini toutes les justifications sauf une: la stabilité des pôles. En fait j'arrive à ça http://nsa34.casimages.com/img/2014/05/21/mini_140521052630796281.png sauf que je me suis aperçu que partie réelle et imaginaire inférieure 1 n'est pas suffisant pour justifier qu'il se trouve dans le cercle unitaire donc aurais-tu un critère plus fin que le mieux pour admettre la stabilité?
J'ai consacré une petite partie rapide de mon oral à l'étude du CD, je l'étudie avec Butterworth, je calcule l'ordre de mon filtre (qui vaut 4) et ensuite j'ai voulu la tracer à l'aide de matlab et j'obtiens ceci http://nsa34.casimages.com/img/2014/05/21/mini_140521053409221188.png mais ça me semble drôlement raide non?
Une toute dernière question qui me hante dans le cadre de l'analogie on recueille un signal on applique un passe-bas pour filtrer au dessus de 22000hZ, on échantillonne, on quantifie puis une interpolation (généralement avec un filtre de lissage si je ne me trompe).
Mais au niveau numérique on dessine notre gabarit, on prend notre fonction de transfert polynomiale de type butterworth (qui agit comme un passe-bas) mais je suis totalement perdu car je ne vois pas à quel moment on procède à l'échantillonnage. La chaine d'information du numérique reste très flou pour moi.
Sinon un très gros merci à toi EraTom de prendre le temps de me répondre et d'avoir pu m'expliquer jusque là.
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Les concours se sont bien passés ?

Je ne vais pas répondre dans l'ordre (je fais en fonction de la fraicheur de mon cerveau en allant du plus simple au plus compliqué :-p)


En ce qui concerne la raideur du filtre :
Trace la courbe de gain "normale" plutôt qu'en dB, sur une échelle allant de 0 à 1, avec une fréquence allant de 0Hz à 2*Fe ; tu verras si c'est toujours aussi raide ;-)


En ce qui concerne la stabilité :
Tu as compris que ce qu'il faut montrer est que si un filtre continue est stable alors sa version discrète (numérique échantillonnée) construit avec la transformation bilinéaire l'est aussi.

Un filtre continue est stable ⇔ Les pôles de la transformée de Laplace de la fonction de transfert du filtre ont une partie réelle négative (dans la littérature on résume souvent par "dans le demi plan gauche").

Un filtre numérique est stable ⇔ Les pôles de la transformée en Z de la fonction de transfert du filtre ont un module inférieur à 1.

Ce qui donne Re(p) < 0 ⇒ |z|=1
C'est bien le seul critère ; il faut donc t'y prendre autrement.

Tu as établi que : z = (2+pTe)/(2-pTe), ce qui te donne la relation directe entre les pôles des filtres continus et numériques.

|z| < 1
⇔
|z|² < 1 (car |z| positif ou nul)
⇔
|2+pTe|² / |2-pTe|² < 1
⇔
|2+pTe|² < |2-pTe|² (car |2-pTe|² > 0, j'y reviendrai à la fin)
⇔ en notant Re(p) = x et Im(p) = w
|2+xTe + jwTe|² < |2-xTe - jwTe|²
⇔ en notant 2+xTe = A, 2-xTe = B et wTe = C
|A + jC|² < |B - jC|²
⇔
A² + C² < B² + C²
⇔
A² < B²
⇔
(2+xTe)² < (2-xTe)²
⇔ développe et simplifie
4xTe < -4xTe
⇔
x < -x (car 4Te > 0)
⇔
2x < 0
⇔
x < 0
⇔
Re(p) < 0 CQFD

Que des relations d'équivalence ! L'analyse donne directement la synthèse :D:

Concernant |2-pTe|² > 0, la plage de fréquences explorée par p doit rester strictement inférieure à 2/Te.


En ce qui concerne le théorème de Shannon-Nyquist :
Pouah ! Ton prof de math ne peut pas t'aider !? :-p

Plus sérieusement (et ça je pense que ton prof de math saura te l'expliquer mieux que moi) le problème c'est qu'il te faut les rudiments de la théorie de la mesure et je ne crois pas que ce soit au programme de prépa (en fait je crois avoir vu ça pendant ma 4ème année d'étude après le bac...).
En toute honnêteté, je me souviens de ce qui coince (ce que je vais t'expliquer) mais mes années d'études commencent à être loin : J'aurais besoin d'un rafraîchissement pour pouvoir te vulgariser la théorie de la mesure correctement.

Pourquoi la théorie de la mesure ? Parce que l'intégrabilité au sens de Lebesgue ne suffit pas. δ n'est pas une fonction mais une distribution.
Avec Lebesgue : ∫ δ(t).dt = 0
Avec la théorie de la mesure (qui utilise une autre définition de l'intégration) : ∫ δ(t).dt = 1

Ensuite tu vas avoir du mal à prouver la convergence : La série est divergente.
Les mathématiciens disent que c'est "du calcul du physicien", ce qui n'est pas faux parce que l'on pose rarement toutes les hypothèses qui conviennent.

On s'en sort dans la pratique en montrant que la plupart les signaux "réels" (ou "réalistes") donne des calcul dans L² (ce qui revient à dire pour le physicien que l'énergie d'un signal n'est pas infinie, ce qui fait plutôt sens). L'inversion somme-intégrale peut alors être pratiquée.
Oui, c'est bancal, mais je n'ai pas mieux à te proposer. :|
36
Alors j'ai envie de dire les concours sont passés (il y a du haut et des bas après on attend les résultats, j'espère juste ne pas préparer mon tipe pour rien ^^).
Pour la raideur du filtre, la version de matlab étant la même version que celle que nous utilions ne cours me semblait correcte, sinon les filtres de Butterworth ayant comme asymptote y=-20Nx avec N l'ordre comme j'ai un filtre d'ordre 4 ce n'est pas si surprenant.
Effectivement ta méthode est beaucoup plus simple (et plus juste) que la mienne pour la stabilité.
Pour la convergence je pensais passer à côté d'un critère assez simple mais j'avais oublié que c'était des distributions donc je vais voir avec mes profs.
Merci encore
37
Je viens de voir que j'avais zappé l'une de tes questions (j'en ai loupé une autre ?)

En ce qui concerne la chaîne d'acquisition :
Ce que l'on appelle la "numérisation" s'appelle dans le jargon une discrétisation. Je vais mettre de côté les math pour être plus dans la technique. Je vais aussi considérer des filtres idéaux (i.e. infiniment raide, avec un gain de 1 dans la bande utile et de 0 dans la bande rejetée, etc.).

La discrétion d'un signal est réalisée en deux étapes :
- L'échantillonnage : Au lieu d'avoir un signal continu on prélève des valeurs (des échantillons) espacés régulièrement (ou non, d'ailleurs, mais c'est encore plus complexe et pour des applications très particulières) dans le temps.
- La quantification : Les valeurs échantillonnées sont arrondies ; alors que le signal continu peut prendre n'importe quelle valeur, la valeur quantifiée est prise sur un ensemble de valeurs fini. C'est indispensable pour pouvoir les coder sur un nombre de bits fini (on parle aussi de "précision finie" pour le calcul car on ne peut pas être "aussi précis que l'on veut").
Le pas de quantification (l'écart entre deux valeurs quantifiées successives) est généralement constant mais il peut aussi être variable.

Inutile de compliquer les choses : Dans les applications audios (et même dans 90% des applications numériques) la période d'échantillonnage et le pas de quantification sont constants.


Le théorème de Shannon-Nyquist est primordiale : Il montre que le processus d'échantillonnage engendre une réplication du spectre (on en a déjà parlé). Je crois que je vais faire une redite d'un post précédent mais c'est pas grave.
Il y a une chose importante à comprendre qui peut être contre-intuitive : L'échantillonnage ne perd pas d'information, elle la rend "juste" impossible à extraire si l'on ne procède pas avec soin. Je m'explique.

Pour le comprendre il faut voir le problème différemment (ce qui ne devrait pas conceptuellement te poser problème vu que tu t'es attaqué à la démo du théorème) : Le signal échantillonné contient une somme infinie (la série) de signaux continus.
Dans cette somme il y a le signal continu d'origine et, superposé à lui, des "clones" du signal d'origine dont les fréquences sont "translatées" de Fe. Notre signal d'origine est donc toujours là, dans le signal échantillonné, mais mélangé avec d'autres.

Si le signal d'origine est contenu dans une bande assez étroite du spectre (i.e. une bande plus petite que Fe) alors nous sommes capable de le retrouver. Dans un tel cas, si l'on regarde dans le domaine des fréquences, le signal d'origine ne se mélange pas avec ses réplications. Pour prendre le cas classique du signal audio :
- Le signal réel d'origine est dans la bande ]-Fe/2 ; Fe/2 [ (de largeur Fe, centrée sur 0Hz),
- La 1ère réplication supérieure est dans la bande ]Fe/2 ; 3Fe/2
38
Citation :
Pour la convergence je pensais passer à côté d'un critère assez simple mais j'avais oublié que c'était des distributions donc je vais voir avec mes profs.
Franchement, c'est assez trapu. Je ne veux pas préjuger des compétences de tes profs mais ça risque de les piquer eux-aussi. La théorie de la mesure est presque une discipline des math à part entière.

Pour te donner une idée de la difficulté, en école d'ingé (où j'avais choisi l'option traitement du signal sur 2 ans) nous étions passé très rapidement en faisant une démonstration mathématique "de physicien" et l'enseignant s'était contenté de nous renvoyer vers une biblio (que je n'ai plus :|)

En parallèle de l'école j'ai fais un DEA (l'équivalent d'un master de recherche aujourd'hui) en math appliquées à la physique où j'ai creusé la théorie de la mesure.
Mon mémoire de DEA portait uniquement sur une étude théorique d'un estimateur statistique (qui ouvrait la voie à des applications en traitement du signal) qui passait par les distributions et autres cochoncetés : Les chercheurs du labo (d'Oxford... Pas le plus pourri) où j'ai fait ce travail utilisaient cet estimateur de façon pragmatique et empirique en ne sachant pas toujours pourquoi "ça ne marche pas des fois" près de 5 après l'avoir formalisé (d'où l'étude théorique).
Ça a abouti sur un résultat intermédiaire alors que j'ai planché dessus pendant 6 mois en partant d'études préliminaires et avec l'aide de plusieurs chercheurs... J'ai pu exprimer des critères d'applicabilité satisfaisant mais certaines parties théoriques mériteraient encore un travail de formalisation mathématique plus poussé ; en fait j'ai juste réussi à baliser certaines parties de démonstration qui manquaient de rigueur mathématique pour ne conserver que des postulats plus raisonnables s'appuyant sur la physique (en clair, je n'ai pas réussi à réduire tous les postulats aux axiomes de la théorie de la mesure... Et c'était pourtant une réussite ^_^).

[ Dernière édition du message le 22/05/2014 à 00:53:46 ]