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Propriétés physique en champ libre

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Imlach

Nouvel·le AFfilié·e

Membre depuis 8 ans

Sujet de la discussion Posté le 25/03/2016 à 23:22:11

Bonjour,

Je suis étudiant en deuxième année de classe préparatoire et dans le cadre d'un projet (TIPE) j'ai pour objectif de déterminer par une modélisation informatique le position optimal de hauts-parleurs dans une salle donnée en prenant en compte les réflexions du son sur les murs. Pour ce faire, j'ai créé un programme qui me permet de calculer de façon récursive les différentes réflexions sur les murs, lorsque l'on place un haut parleur à un endroit donné.

Néanmoins, j'ai quelques question d'un point de vue théorique :
Dans ma modélisation, je me place en champ libre. J'ai lu à plusieurs endroits que dans ce cas, si l'on a deux sources, les intensités sonores s'additionnent. Ma prof de physique a émit quelques réserves sur cela en disant que, dans le cas de sources monochromatiques, les surpressions s'additionnent, mais que, pour un son complet, qui a presque un spectre continu, je devais prouver que cette affirmation reste vraie.

Autre question : Comment peut-on démontrer que, pour une onde acoustique, la réflexion des ondes suit une loi similaire aux lois de Descartes en optique ?

Auriez-vous des conseils sur le sujet ?

Merci d'avance !

Cordialement

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Imlach

Nouvel·le AFfilié·e

Membre depuis 8 ans

11 Posté le 05/04/2016 à 19:37:33

Quand je parlais de puissance fournit par la source, je faisais ici référence à la valeur fournit par les fabricants de haut-parleurs.

L'intensité sonore nous a été définit comme étant la valeur moyenne de l'intégrale sur une surface unitaire de p.v.dS. Et, dans le cas d'une onde plane progressive harmonique, on a quelque chose de la forme I = p^2/(2*rho*c) avec p l'amplitude des variations de pression.

Mais j'ai du mal à relier cela à ce que j'ai lu sur les haut-parleurs, où j'ai lu que les intensités s’additionnent si on superpose plusieurs signaux. Or, si les surpressions s'additionnent, j'ai du mal à comprendre pourquoi les intensités aussi...

Dans les données fournis par les constructeurs de haut-parleurs, on trouve aussi la sensibilité, qui définit "la pression acoustique qu'elle peut produire à un mètre de distance pour 1 W, exprimé en dB".
En utilisant une telle donnée et une relation de la forme I = W/(4*pi*r^2), ne peut-on pas simplement déterminer l'intensité sonore en tout point ? Ce qui simplifierait beaucoup la tâche.

Et si on décide d'utiliser le vecteur de Poynting acoustique, comment évaluer la valeur des amplitudes de variation de la pression et de la vitesse ?

EraTom

2282

AFicionado·a

Membre depuis 13 ans

12 Posté le 06/04/2016 à 14:03:47

Je suis sûr que tu te poses moins de questions en électricité alors que c'est la même chose. :-)

Mets de côté pour l'instant les HP.

Citation :

Or, si les surpressions s'additionnent, j'ai du mal à comprendre pourquoi les intensités aussi...

Quand tu évoques des surpressions j'espère que tu as bien compris que le "p" du champs de pression peut aussi être négatif : Il s'agit en réalité de la variation de pression au passage de l'onde par rapport à la pression moyenne du milieu.

Tu peux faire cette expérience facilement : Place deux enceintes cote-à-cote et envoie à chacune d'entre-elles des signaux en opposition. En face à quelques mètres des enceintes tu n'entendras quasiment rien.
Les deux ondes s'annulent alors que les puissances émises par les deux enceintes sont les mêmes et sont différentes de 0 : Les champs p et v s'ajoutent (pour s'annuler) mais pas les intensités.

Il y a annulation car les ondes sont cohérentes ; si les deux ondes ne sont pas cohérentes alors tu peux retrouver la somme des intensité.

Citation :

L'intensité sonore nous a été définit comme étant la valeur moyenne de l'intégrale sur une surface unitaire de p.v.dS.

Oui, et cette intensité acoustique est une puissance / m2(le lien avec le travail d'une force de pression sur une surface est explicite). p.v c'est le vecteur de Poynting.

Tu calcules d'abord p et v en chaque point en utilisant le principe de superposition des différentes sources (primaires quand ce sont des ondes venant d'une enceinte, secondaires quand il y a des réflexions), ensuite le flux total du vecteur de Poynting sur la surface puis, comme p et v varient, tu en fais la moyenne temporelle.

En photométrie l'éclairement correspond à l'intensité sonore en acoustique.

Citation :

Mais j'ai du mal à relier cela à ce que j'ai lu sur les haut-parleurs, où j'ai lu que les intensités s’additionnent si on superpose plusieurs signaux. Or, si les surpressions s'additionnent, j'ai du mal à comprendre pourquoi les intensités aussi...

Non non. Le principe de superposition s'applique aux champs p et v et on en déduit l'intensité.

Il y a bien sûr des cas, quand les ondes n'interfèrent pas, où les intensités peuvent s'ajouter.
Mais dans ton cas, où tu veux prendre en compte les réflexions sur les parois d'une pièce, il y aura forcément des interférences constructives et destructives entre les ondes émises et les ondes réfléchies.

Citation :

Et si on décide d'utiliser le vecteur de Poynting acoustique, comment évaluer la valeur des amplitudes de variation de la pression et de la vitesse ?

Mais en fait tu n'as pas le choix... Comme en électromagnétique en régime sinusoïdale, ce que tu as dû étudier.
Il faut prendre en compte la décroissance de l'amplitude en fonction de la distance (atténuation géométrique) et aussi le déphasage.

Citation :

Quand je parlais de puissance fournit par la source, je faisais ici référence à la valeur fournit par les fabricants de haut-parleurs.

C'est à dire ?
La puissance électrique est bien plus importante que la puissance sonore rayonnée (le rendement est très faible).

Et... Ce n'est pas un problème simple : Ça dépend du montage du HP dans l'enceinte et il faut étudier en détails les interactions électromécanique.

On peut établir relativement facilement qu'un HP monté sur une enceinte close se comporte comme un filtre passe-haut du 2nd ordre (entre la sortie acoustique et le signal électrique).
Une source sérieuse et claire :
http://cyrille.pinton.free.fr/electroac/lectures_utiles/livre_(fran%E7is_brouchier).pdf

Tu dois avoir tout le bagage physique et mathématique pour l'aborder.
Note que l'on se place directement en régime sinusoïdale établi ; pour les transitoires il faudrait passer par Laplace.

Imlach

Nouvel·le AFfilié·e

Membre depuis 8 ans

13 Posté le 07/04/2016 à 16:09:22

Ok...Je commence à mieux comprendre...
En effet, je me pose moins de questions en électricité, mais là où j'ai du mal avec l'acoustique c'est de faire concrètement le lien entre la surpression et ce que l'on entend. Et ce problème ne se pose pas trop en électricité, car on peut directement mesurer l'intensité, la tension, etc...

Citation :

Mais en fait tu n'as pas le choix... Comme en électromagnétique en régime sinusoïdale, ce que tu as dû étudier.
Il faut prendre en compte la décroissance de l'amplitude en fonction de la distance (atténuation géométrique) et aussi le déphasage.

Je suis d'accord, mais, pour pouvoir faire des applications numériques, il faut bien avoir certaines valeurs "initiales". En particulier, si je souhaite comparer ma modélisation à la réalité par une expérience, il faut que je puisse avoir les même conditions initiales dans mon expérience et dans mon modèle...

Citation :

C'est à dire ?
La puissance électrique est bien plus importante que la puissance sonore rayonnée (le rendement est très faible).

Je sais que le rendement est très faible, mais j'ai essayé d'utiliser à la fois la sensibilité du haut-parleur et sa puissance d'alimentation pour obtenir le niveau sonore "maximal" à 1 mètre de distance.

Et merci pour le document, je vais m'empresser de lire tout ça...

[ Dernière édition du message le 07/04/2016 à 16:11:38 ]

manu147

335

Posteur·euse AFfamé·e

Membre depuis 16 ans

14 Posté le 08/04/2016 à 17:36:15

Au cas où sa intéresse quelqu'un : https://www.techniquesduson.com/Phase.pdf

Imlach

Nouvel·le AFfilié·e

Membre depuis 8 ans

15 Posté le 09/04/2016 à 23:14:59

Merci pour le lien, c'est très intéressant !

EraTom

2282

AFicionado·a

Membre depuis 13 ans

16 Posté le 10/04/2016 à 11:48:05

Citation :

10. Inversion de phase, de polarité

Devant le jury du TIPE, et si tu évoques le sujet, parle plutôt d'opposition d'amplitude. En régime sinusoïdale, la phase fait + ou - pi radians.

Citation :

Ok...Je commence à mieux comprendre...
En effet, je me pose moins de questions en électricité, mais là où j'ai du mal avec l'acoustique c'est de faire concrètement le lien entre la surpression et ce que l'on entend. Et ce problème ne se pose pas trop en électricité, car on peut directement mesurer l'intensité, la tension, etc...

Je ne sais pas comment l'on t'a expliqué les choses, mais voici comment moi je me les suis appropriées.

Il ne faut pas perdre de vue que l'on s’intéresse à des petites variations supposées linéaires (on fait une approximation affine) des grandeurs qui caractérisent le fluide.
On dispose d'un fluide au repos (pression et masse volumique uniformes, vitesse d'écoulement nulle), on envoie une petite perturbation locale et l'on regarde comment elle se propage.

En chaque point de l'espace M et à chaque instant t :
P(M,t) = Po + p(M,t)
V(M,t) = Vo + v(M,t)
Μu(M,t) = Muo + µ(M,t)

Po est la pression moyenne dans la pièce, Vo est le vecteur vitesse d'écoulement (nul), Muo la masse volumique moyenne du fluide.
Pour un gaz parfait, nous n'avons pas besoin de la température : P = Μu*Rs*T (avec Rs la constante spécifique).

P(M,t) et Mu(M,t) sont des champs scalaires, V(M,t) un champ vectoriel. Comme pour les équations de Maxwell en électromagnétisme on dispose de 3 équations locales qui décrivent les interactions entre ces champs.

Conservation de la masse :
dMu/dt = -div(Mu.V)
Dans un volume élémentaire, dMu/dt est la variation instantanée de la masse dans le volume, -div(Mu.V) c'est la masse qui s'échappe à la frontière du volume : Le bilan total doit être nul.
Pour le dire autrement, toute variation de masse dans un volume autour d'un point au cours du temps doit s'expliquer par la différence de ce qui rentre et de ce qui sort au frontière de ce volume.

Conservation de la quantité de mouvement :
d(Mu.V)/dt = -grad(P)
Cette équation dit tout simplement que le mouvement d'une masse de fluide (ramenée au volume) doit aller de la pression la plus forte vers la pression la plus faible.

Pour l'établir il faut partir du fait que la variation de la quantité de mouvement est produite par une force : F = dq/dt. En mécanique classique, q = m.v (avec m la masse et v sa vitesse de déplacement).
Le bilan des forces sur une volume élémentaire fait apparaître le grad(p) (il n'y a que des forces de pression d'un volume de fluide sur un autre ; tu as dû faire ce genre de bilan en hydrostatique).

Ce n'est pas un formalisme que tu dois avoir l'habitude de rencontrer. On l'utilise dans la reformulation des équations de la mécanique classique par les méthodes variationnelles (principe de moindre action, etc.).
En mécanique relativiste et en mécanique quantique on n'y coupe pas : Les bilans d'énergies, de quantité de mouvement sont toujours possibles mais l'on ne peut pas travailler explicitement avec des forces.

Conservation de l'entropie :
P.(Mu^-γ) = cste
La conservation de l'entropie permet de garantir que le passage de l'onde ne perturbe pas durablement le fluide :
- Il est dans une position de repos ;
- L'onde / perturbation locale passe ;
- Il retrouve la position de repos d'origine.
Le bilan entropique totale est donc nul et la transformation est réversible ==> la transformation locale est adiabatique.

En linéarisant toutes les équations précédentes (i.e. en restant au premier ordre et en négligeant tous les ordres supérieurs) :
P(M,t) = Po + p(M,t)
V(M,t) = Vo + v(M,t) (avec Vo = 0)
Μu(M,t) = Muo + µ(M,t)

La conservation de la masse devient :
dµ/dt + Muo*div(v) = 0 (il n'y a pas de terme en Vo.diff(p) car Vo = 0)

La conservation de la quantité de mouvement :
Muo*dv/dt + grad(p) = 0
(note que l'on fait aussi implicitement l'hypothèse d'un écoulement parfait : rot(V) = 0 ; il n'y a pas de turbulence).

La conservation de l'entropie impose :
dµ/dt = Muo*χ*dp/dt
Avec coefficient de compressibilité isentropique χ.

Comme il s'agit de champs de variations linéaires (par construction). Tu peux donc utiliser le principe de superposition pour deux ondes (superpositions de p, v et µ ; Po, Vo et Muo ne bougent pas).

Note que l'on n'a pas encore démontré que les variations p, v et µ se comportent comme des ondes.
A partir de Muo*dv/dt + grad(p) = 0 on calcule le div de chaque membre :
=> Muo*div(dv/dt) = -div(grad(p))
div(grad(p)) est le Laplacien scalaire := Δp
=> Muo*d(div(v))/dt = -Δp

A partir de la conservation de masse et de la contrainte isentropique :
div(v) = -(1/Muo) * dµ/dt = -(1/Muo) * Muo*χ*dp/dt = -χ*dp/dt

En réinjectant dans l'expression précédente :
Muo*d(-χ*dp/dt)/dt = -Δp
==> Δp - Muo*χ* d²p/dt² = 0

On retrouve l'équation de d'Alembert en posant c² = 1/(Muo*χ).
Pour un gaz parfait, c² = γ*Rs*To où Rs est la constante spécifique.
Pour l'air à 15°C : γ = 1.4, Rs = 287 ==> c = (1,4*287*(273+15))^(1/2) = 340 m/s

De manière similaire, on retrouve les mêmes équations pour µ et pour chaque composante de v.

Tu peux également montrer que la direction de propagation est confondue avec la direction de v.

C'est là que c'est génial :
- Les solutions de ces équations sont connues ;
- On peut "oublier" les équations de conservation pour utiliser ce qui est déjà connu en mécanique ondulatoire .

Citation :

Je suis d'accord, mais, pour pouvoir faire des applications numériques, il faut bien avoir certaines valeurs "initiales". En particulier, si je souhaite comparer ma modélisation à la réalité par une expérience, il faut que je puisse avoir les même conditions initiales dans mon expérience et dans mon modèle...

Expérimentalement, tu vas avoir du mal à obtenir une bonne répétabilité. Pour y parvenir il faut être en condition de labo avec du matériel couteux et un protocole assez lourd.
Si tu obtiens numériquement des valeurs "vraisemblables" ça sera déjà bien.

Si tu disposes une sphère contenant la source il te "suffit" de connaître les valeurs de p et v en chaque point de la surface (la sphère) pour modéliser cette source et propager les ondes dans le reste de la pièce : Tu peux t'en servir comme valeur initiale.

Si tu considères que la source est ponctuelle sans directivité particulière, tu sais que :
- le front d'onde est suivant des sphères ;
- les valeurs de p et v ne dépendent donc que de la distance à la source ;
- la direction de v passe par le point d’origine, normale au front d'onde ;
- la puissance rayonnée à travers une sphère de rayon r centrée sur la source est constante ; p*v est normale à la surface, vers l'extérieur et de norme constante, donc son flux total est p*v*4*pi*r² = Cste.

Dans ce cas tu peux même résumer la source au point (centre de la sphère) et calculer les déphasages depuis ce point.

Si tu prends en compte la directivité ça complique le problème ; p*v n'est plus uniforme sur la sphère et modéliser ceci correctement suffirait à faire un sujet pour ton TIPE.

J'en reviens à ce que je te disais dans les premiers posts :
- Si tu veux modéliser le rayonnement et le transport de l'onde dans la pièce comme en optique géométrique il faut que la longueur d'onde soit assez faible devant les dimensions des objets qui réfléchissent les ondes et les dimensions de la pièce pour utiliser l'équivalent de l'approximation de Snell-Descartes ;
- Si tu veux pouvoir modéliser la source par un point (ou du moins, une sphère pulsante) il faut que la longueur d'onde soit grande devant les dimensions de la membrane du HP.

Et si tu n'arrives pas à trouver une bande de fréquence où ses deux hypothèses sont vérifiées, tu ne peux pas t'y prendre de cette manière pour étudier le rayonnement.

Imlach

Nouvel·le AFfilié·e

Membre depuis 8 ans

17 Posté le 10/04/2016 à 23:11:13

La démonstration permettant de montrer que p et Mu suivant une équation de d'Alembert nous a été faite en cours, mais merci quand même pour cette démonstration qui apporte quelques éléments supplémentaires.

Voici, au vu de tout ce que vous m'avez dit, ce que je pense faire :

Comme de plus en plus d'enceintes ont une directivité constante avec la fréquence (dans les médium/aiguë), je vais légitimement travailler dans ce cas, et utiliserait un diagramme de directivité qui détermine l’atténuation de la puissance acoustique transmise en fonction de l'angle (exemple : image).
Je vais supposer la source "ponctuelle avec directivité" (je sais pas trop comment appeler ça...), même si pour le moment, rien ne me permet de dire qu'il existe une bande de fréquence qui permette de satisfaire les deux hypothèses.
Je vais faire ma modélisation avec une onde monochromatique, ce qui sera sans doute plus simple, et me permet tout à fait de faire des expériences si nécessaire.

Ainsi, en fixant une certaine puissance acoustique, je peux en déduire l'amplitude des variations de pression, et, par une modélisation informatique, déterminer en tout point, l'amplitude et la phase de la surpression résultante liée à la superposition des ondes liées aux réflexions.

Si tout se passe bien, je dois pouvoir ainsi déterminer le niveau sonore en tout point, et donc arriver à répondre à l'objectif que je m'étais fixé.

Il reste néanmoins à vérifier s'il existe une bande de fréquence où toutes les hypothèses sont respectées.

Cela semble-t-il juste ?

EraTom

2282

AFicionado·a

Membre depuis 13 ans

18 Posté le 11/04/2016 à 08:54:40

Citation :

Je vais supposer la source "ponctuelle avec directivité" (je sais pas trop comment appeler ça...),

Surtout pas comme ça

Je comprends ce que tu veux dire mais tu t'exposes à des remarques cinglantes du jury : Source ponctuelle = Monopôle non directif.
Parle plutôt d'une paramétrisation en coordonnées sphériques de l'émission : l'origine sur le centre de la membrane et un angle par rapport à un axe normale à cette dernière.

Pour une onde monochromatique je t'encourage à utiliser les notations complexes ; ça te simplifiera la vie pour les dérivations / intégrations et tu pourras introduire les impédances acoustiques.

Regarde page 45 du pdf que je t'ai envoyé, notamment l'introduction du champ phi qui permet de calculer directement p et v : les deux champs se résument à un champs scalaire (rot(v)=0 équivaut à "il existe phi tq v = grad(phi)"...).

Imlach

Nouvel·le AFfilié·e

Membre depuis 8 ans

19 Posté le 11/04/2016 à 18:10:18

Je ne comprend pas trop l'interet du champ phi.
Dans notre cours, on a vu que v = p/(Mu0*cson), donc connaître p permet immédiatement de connaitre v, non ?

En approfondissant ce que j'ai proposé comme modèle/méthode de résolution, j'ai quand même un petit problème :

Comme je l'ai dit, je me donne le niveau sonore en un point (ce qui me sert de valeur initiale, et cette valeur peut être issue d'une mesure), et j'utilise le diagramme de directivité pour en déduire le niveau sonore sur tout le contour tracé dans le diagramme.

Mais à partir de cela, comment puis-je calculer l'atténuation géométrique, car il ne s'agit plus d'une sphère, mais d'une forme définie par ce diagramme de directivité...