Comparaison de synthèses : modulation de phase et modulation de fréquence
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plutonak
1101
AFicionado·a
Membre depuis 19 ans
15 ans ont passé, il n'est jamais trop tard ! 
Bon, en fait, les choses sont relativement simples, en tous les cas pour les signaux porteurs sinusoïdaux. Le cadre général est celui-ci : soit un signal x(t) = sin(Φ(t)) où Φ(t) est une fonction qui dépend du temps et représentant la phase. Exemple classique Φ(t) = ωt. La fréquence (instantanée) est la dérivée par rapport au temps de Φ(t), notée Φ'(t) (pour comprendre, il faut connaître les dérivées de fonctions!). Exemple : Φ(t) = ωt implique Φ'(t) = ω (fréquence constante, donc). Ensuite, tout dépend de ce que l'on souhaite faire : moduler Φ(t) ou Φ'(t). Si on décide de moduler Φ'(t), il faut ensuite remonter à Φ(t) par intégration (l'inverse de la dérivée), ce qui n'est pas toujours simple. Autrement dit, il faut toujours (re)construire la phase Φ(t) pour obtenir la forme du signal mais l'oreille est plutôt habituée à Φ'(t) (la fréquence).
Prenons l'exemple d'une fréquence constante ω avec une petite modulation cos(αt). On a donc Φ'(t) = ω + cos(αt) : la fréquence instantanée est centrée autour de ω (supposée assez grande par rapport à 1) avec de petites fluctuations de "fréquence" α. Par intégration, on obtient Φ(t) = ωt + (1/α)sin(αt). Le terme cos(αt) module la fréquence, ce qui est équivalent à dire que le terme (1/α)sin(αt) module la phase (ici, de manière additive, mais il y a certainement d'autres possibilités).
Un autre exemple intéressant illustre une erreur classique : on souhaite passer d'un sin(ω1*t) à un sin(ω2*t) dans un intervalle de temps donné, disons [0, T] (une sorte de legato si je ne me trompe pas). On a donc une fréquence instantanée que l'on note ω(t). A t = 0, ω(t=0) = ω1 et à t = T, ω(t=T) = ω2. Une manière de paramétrer ω(t) selon t est d'écrire ω(t) = ω1*(1-t/T) + ω2*t/T (qui est une modulation de fréquence en quelque sorte) et l'on vérifie que les conditions ci-dessus sont vérifiées à t = 0 et t = T. On a donc ω(t) = Φ'(t) = ω1 + (ω2 - ω1)*t/T. Par intégration, on obtient Φ(t) = ω1*t + (ω2 - ω1)*t^2/(2T) (bien faire attention au terme 1/(2T) et non pas 1/T comme on pourrait le croire intuitivement) et le signal qui permet d'entendre ce legato est donc sin(ω1*t + (ω2 - ω1)*t^2/(2T)). L'erreur classique, c'est d'écrire qu'une fois que l'on a choisi une fréquence instantanée ω(t), on revient au signal écouté en écrivant x(t) = sin(ω(t)*t) soit Φ(t) = ω(t)*t . Ceci est FAUX! En effet ∫ω(t)dt (opération d'intégration, inverse de la dérivée) n'est pas égal à ω(t)*t. Il est assez simple de vérifier avec sin(ω(t)*t) = sin(ω1*t + (ω2 - ω1)*t^2/T) [incorrect] que la fréquence instantanée en t = T est 2ω2, deux fois plus élevée qu'espéré !
Morale de l'histoire selon moi : il est un peu plus intuitif d'imaginer des sons en travaillant avec Φ'(t) (modulation de fréquence) mais il faut remonter à Φ(t) (et donc à la modulation de phase équivalente) par intégration pour une implémentation algorithmique du son recherché. Cette opération n'est pas toujours simple et peut être coûteuse en CPU.
[*]Commentaire 1: ce qui est écrit ci-dessus fonctionne seulement quand le signal porteur est sinusoïdal. Il faudrait potasser la question pour un signal porteur plus sophistiqué (carré, triangle...)[newline ]
[*]Commentaire 2: la plupart des liens url indiqués dans le fil de discussion sont obsolètes. Dommage.
Bon, en fait, les choses sont relativement simples, en tous les cas pour les signaux porteurs sinusoïdaux. Le cadre général est celui-ci : soit un signal x(t) = sin(Φ(t)) où Φ(t) est une fonction qui dépend du temps et représentant la phase. Exemple classique Φ(t) = ωt. La fréquence (instantanée) est la dérivée par rapport au temps de Φ(t), notée Φ'(t) (pour comprendre, il faut connaître les dérivées de fonctions!). Exemple : Φ(t) = ωt implique Φ'(t) = ω (fréquence constante, donc). Ensuite, tout dépend de ce que l'on souhaite faire : moduler Φ(t) ou Φ'(t). Si on décide de moduler Φ'(t), il faut ensuite remonter à Φ(t) par intégration (l'inverse de la dérivée), ce qui n'est pas toujours simple. Autrement dit, il faut toujours (re)construire la phase Φ(t) pour obtenir la forme du signal mais l'oreille est plutôt habituée à Φ'(t) (la fréquence). Prenons l'exemple d'une fréquence constante ω avec une petite modulation cos(αt). On a donc Φ'(t) = ω + cos(αt) : la fréquence instantanée est centrée autour de ω (supposée assez grande par rapport à 1) avec de petites fluctuations de "fréquence" α. Par intégration, on obtient Φ(t) = ωt + (1/α)sin(αt). Le terme cos(αt) module la fréquence, ce qui est équivalent à dire que le terme (1/α)sin(αt) module la phase (ici, de manière additive, mais il y a certainement d'autres possibilités).
Un autre exemple intéressant illustre une erreur classique : on souhaite passer d'un sin(ω1*t) à un sin(ω2*t) dans un intervalle de temps donné, disons [0, T] (une sorte de legato si je ne me trompe pas). On a donc une fréquence instantanée que l'on note ω(t). A t = 0, ω(t=0) = ω1 et à t = T, ω(t=T) = ω2. Une manière de paramétrer ω(t) selon t est d'écrire ω(t) = ω1*(1-t/T) + ω2*t/T (qui est une modulation de fréquence en quelque sorte) et l'on vérifie que les conditions ci-dessus sont vérifiées à t = 0 et t = T. On a donc ω(t) = Φ'(t) = ω1 + (ω2 - ω1)*t/T. Par intégration, on obtient Φ(t) = ω1*t + (ω2 - ω1)*t^2/(2T) (bien faire attention au terme 1/(2T) et non pas 1/T comme on pourrait le croire intuitivement) et le signal qui permet d'entendre ce legato est donc sin(ω1*t + (ω2 - ω1)*t^2/(2T)). L'erreur classique, c'est d'écrire qu'une fois que l'on a choisi une fréquence instantanée ω(t), on revient au signal écouté en écrivant x(t) = sin(ω(t)*t) soit Φ(t) = ω(t)*t . Ceci est FAUX! En effet ∫ω(t)dt (opération d'intégration, inverse de la dérivée) n'est pas égal à ω(t)*t. Il est assez simple de vérifier avec sin(ω(t)*t) = sin(ω1*t + (ω2 - ω1)*t^2/T) [incorrect] que la fréquence instantanée en t = T est 2ω2, deux fois plus élevée qu'espéré !
Morale de l'histoire selon moi : il est un peu plus intuitif d'imaginer des sons en travaillant avec Φ'(t) (modulation de fréquence) mais il faut remonter à Φ(t) (et donc à la modulation de phase équivalente) par intégration pour une implémentation algorithmique du son recherché. Cette opération n'est pas toujours simple et peut être coûteuse en CPU.
[*]Commentaire 1: ce qui est écrit ci-dessus fonctionne seulement quand le signal porteur est sinusoïdal. Il faudrait potasser la question pour un signal porteur plus sophistiqué (carré, triangle...)[newline ]
[*]Commentaire 2: la plupart des liens url indiqués dans le fil de discussion sont obsolètes. Dommage.
[ Dernière édition du message le 09/06/2025 à 23:22:05 ]
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