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Sujet A tous les profs de maths qui trainent ! Question geek inside

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  • 7 followers
Sujet de la discussion A tous les profs de maths qui trainent ! Question geek inside
Je revois mes cours devant Af ( :oops: ) et je suis devant un pb métaphyisique qui risque de m'empêcher de dormir, et je trouve pas la soluce sur le net...

C'est un truc de base sur les tribus et mesure. Y a qqn qui pourrait m'aider (je crois qu'il y a des profs de maths qui trainent ici) ?
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41
Petit canaillou!!! :ange:
42
Mais euh....

Puisque c'est comme ça, je vais aller dans le dual :nawak:

(putain, blagues de matheux, pire que des blagues d'informaticien et de musicien réunies).
43
:non:
44
> Gabou

Mr talou va revoir sa copie en fin de journée.
j'y tiens au paquet de BN qui est à la clé :clin:
45
Pour repondre a 2)

E = La somme

Apres avoir pose tes Bn en fonction de tes An tu obtiens cela:

1) An=UAj (j=1...n) = UBj (j=1...n)

A present prendre les mesures de ces ensembles:

2) m( UAj (j=1...n) ) = m( UBj (j=1...n) =E(j=1...n) m(Bj) c est la propriete d additivite denombrable

On passe a la limite:

3) Lim (n-->oo ) m( UBj (j=1...n) ) = E(j=1...oo) m(Bj)

Enfin:

4) Lim (n-->oo ) m( UBj (j=1...n) )= Lim (n-->oo ) m( UAj (j=1...n) )= Lim (n-->oo ) m(An) D APRES 1

c est fini :!:

Citation : Est ce que lim ( m(Bi), i->oo) = m(lim(Bi, i->oo)), forcément ?



pour permuter signe somme et limite il y a des theoremes comme celui de Lebesgue mais en general y a pas moy

Citation : lim(reunion sur n des An, n=1..oo) = lim ( An, n-> oo).



la ca veut rien dire, parcontre tu peux chercher lim( k-->oo) (UAn, n=1..k), et en general ca ne veut rien dire du tout si on n a pas d info sur les An, sur A...
et une limite quand elle existe elle est toujours unique!
46

Citation :
la ca veut rien dire, parcontre tu peux chercher lim( k-->oo) (UAn, n=1..k), et en general ca ne veut rien dire du tout si on n a pas d info sur les An, sur A...



C'est bien ce que je me disais, ça veut rien dire si t'as pas de suite monotone... Mais quand tu aprlées lim U An, c'est dans quel sens ? Il y a pas de mesure, ici. Je soupconne un truc plus "high level".

Le truc qui me dérange pour le 4), c'est que tu utilises le 1 passé à la limite directement. C'est là le noeud de mon pb, en fait (qui n'en est peut être pas un, remarque).

Pour moi, le 1 passé à la limite, c'est soit

1)on passe à la limite et on prend la mesure, ce qui est légitime car c'est des réunios dénombrables m( lim(An,n->oo) ) = m(UAn, n=1..oo) (mais on parle justement de lim(An,n->oo), que j'ai du mal à bien définir)

2) on prend d'abord la mesure: m(An) = m(UAi,i=1..n), puis on prend la limite, lim(m(An,n->oo)) = lim(m(UAi,i=1..oo)).

On veut démontrer que le membre de droite de 1) est égal au membre de gauche de 2).

C'est pour ça que je posais la question inversion U ou m et lim, qui elle seule permettrait de montrer ce que l'on veut. Car si c'est faux, on en déduit que la propriété lim(m(An), n->oo) = m(UAn,n=1..oo) est fausse, non ?
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Citation : C'est bien ce que je me disais, ça veut rien dire si t'as pas de suite monotone... Mais quand tu aprlées lim U An, c'est dans quel sens



en fait si je comprends bien ton probleme, c est qu il n y a pas besoin de mesure ici, on considere une suite d ensembles (An)n et pour ecrire une union infinie de ces ensembles, on utilise soit

1) U (k=1...oo ) Ak
2) Lim (k-->oo ) U Aj ( j=1..k )

donc la limite ici c est juste pour dire " on prend une union infinie "

Alors ensuite:

Citation : mais on parle justement de lim(An,n->oo), que j'ai du mal à bien définir)



oui tu as du mal a definir parce que ca n a pas de sens t inkiete!

Citation : lim(m(An,n->oo)) = lim(m(UAi,i=1..oo)).



regarde bien le member de gauche c est une limite d une suite de nombres, tandis que le membre de droite en suposant qu il existe c est une limite d un nombre ce qui est trivial! oui car m(UAi,i=1..oo)) = UN NOMBRE si tout va bien, donc prendre la limite d un nombre ca sert a rien

Pour bien comprendre la preuve faut que tu mattes:

Citation : Lim (n-->oo ) m( UAj (j=1...n) )= Lim (n-->oo ) m(An) D APRES 1



1)

Citation : An=UAj (j=1...n) = UBj (j=1...n)



on a tout a fait le droit de faire ca car on utilise simplemement une egalite (An=UAj ) entre deux membres, la limite etant une operation que l on fait apres
Tu reparques que la on a pas permute signe somme, limite union etc... parce que pour permuter faut des conditions particulieres
48
J'allais dire que j'avais compris, mais non :oops: (pour les trucs qui ont pas de sens, si, mais pas pour la démo).

Le point 1), c'est :

An = (UAi, i=1..n), donc m(An) = m(UAi, i=A..n) pour tout n. Comme m(An) est une suite de réels croissante, sa limite existe, donc lim(m(An), n->oo) = lim(m(UAi,i=1..n), n->oo). Là, Ok. On peut pas passer à la limite d'abord et prendre la mesure ensuite, car ça n'a pas de sens de parler de (An,n->oo), donc.

Et le point 4), c'est :

m(U Ai, i=1..oo) = m(U Bi, i= 1..oo). D'après ce que tu viens de dire, et on est d'accord aussi, (U Ai, i=1..oo) est égal par définition à lim( ( UAi, i=1..n), n->oo), donc m(U Ai, i=1..oo) = m( lim{ ( UAi, i=1..n), n->oo}).

Pour conclure, il faut bien montrer que m(lim{ ( UAi, i=1..n), n->oo}) = lim{m(UAi,i=A..n), n->oo}, non ? Ou alors comment tu passes de 1 à 4 autrement ?

(j'ai l'impression d'être complètement idiot, là, à poser 5 fois la même question :oops: ).
49
Visiblement c'est pas résolu :surpris:
Attends Mr talou en fin de journée, il va te régler ça en un coup de cuillère à pot :mdr:
50

Citation :
oui tu as du mal a definir parce que ca n a pas de sens t inkiete!



Bon, en fait, au fil de mes recherches, j'ai trouvé que ça en a un, en tout cas dasn les tribus. Donc E un ensemble et T une tribu de E. Soit An une suite d'éléments de T. On a (U An, n dans N) qui est dans T, car la réunion dénombrable reste dans T par définition d'une tribu. Si on définit par Bn = ( U Ak, k>n), Bn est aussi une suite de T, et de plus, l'intersection sur n dans N des Bn est toujours dedans. On définit la limite sup de la suite An comme cette interesection dénombrable. On a une définition analogue pour la limite inf. D'où une définition de limite quand elle existe, non ? (on définit bien la limite comme lim inf ou lim sup quand lim inf = lim sup, non ?).

Pour que x de E soit dans lim sup An, il faut que x soit dans tous les Bn. Lim sup An, c'est donc aussi l'ensemble des x tels que somme ( 1An(x), n=1..oo) = oo, où 1An est la fonction indicatrice de An. C'est aussi l'ensemble des x dans E qui appartiennent à une infinité de An (là, par contre, je vois pas encore pourquoi, mais je vais y arriver).

Par exemple, si An est une suite croissante, et en posant A = (U Ak, k=1..oo) :

- Bn = (U Ak, k>n-1) = A , donc lim sup An = (U Bn, k=1..oo) = A

- Cn = (intersection Ak, k>n-1) = An, donc lim inf An = réunion des Cn = réunion des An = A.

Donc une suite coissante a toujours une limite, puisque lim inf = lim sup. :aime: