Sujet UNE FOIS POUR TOUTE !
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Selon moi, l'augmentation de la fréquence d'échantillonnage va plus loin qu'une simple augmentation de la bande passante. On augmente aussi en quelque sorte la rapidité du système, ce qui lui donne donc une meilleure réponse impulsionnelle ==> meilleure reproduction des transitoires par exemple.
Je peux me tromper sur la théorie mais c'est ce que j'entends et cette explication me parait logique.
Cela dit, je répète que l'augmentation de la consommation en ressources ne justifie pas, pour moi, d'aller au delà du 48kHz dans la plupart des cas...
Peace
Glob
Les problèmes de retard de groupe, etc. que tu évoques sont plutôt imputables au filtre d'antialising "sous-optimal" des CAN qu'au processus de discrétisation en lui-même.
parce qu'il n'est pas nécessaire de réaliser le filtrage : on sait que cette sinusoïde seule est dans la bande
Guaige
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FAB_caluire
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EraTom
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johnfaustus
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FAB_caluire
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Oui, mais si on fait de la musique pour chauves-souris, le 192k ne suffit pas 
globule_655
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Citation de FAB_caluire :
Oui, mais si on fait de la musique pour chauves-souris, le 192k ne suffit pas
Selon moi, l'augmentation de la fréquence d'échantillonnage va plus loin qu'une simple augmentation de la bande passante. On augmente aussi en quelque sorte la rapidité du système, ce qui lui donne donc une meilleure réponse impulsionnelle ==> meilleure reproduction des transitoires par exemple.
Je peux me tromper sur la théorie mais c'est ce que j'entends et cette explication me parait logique.
Cela dit, je répète que l'augmentation de la consommation en ressources ne justifie pas, pour moi, d'aller au delà du 48kHz dans la plupart des cas...
Peace
Glob
L'abeille coule, l'abeille coule, l'abeille coule, l'abeille coule, l'abeille coule, l'abeille coule....
[ Dernière édition du message le 22/10/2013 à 09:52:43 ]
Guaige
185
Posteur·euse AFfiné·e
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EraTom
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Hors sujet :
Le but c'est que tout le monde partage ses connaissances théoriques et pratiques.
Pour ma part j'ai un déficit d'expérience pratique.
Perso, ce qui m'intéresse c'est d'arriver à faire le lien entre les "deux mondes" que certains choisissent d’opposer. On évite les théories fumeuses qui n'apportent rien au schmilblick et aussi les pratiques douteuses qu'aucune "théorisation" n'est capable d'expliquer même de façon partielle.
Parfois on a même la surprise de constater qu'une pratique répandu n'est pas du tout bonne lorsqu'elle produit théoriquement l'inverse de ce qu'elle est censée réaliser : là on peut se demander si l'on n'a pas à faire à un charlatan.
Par exemple, sans chercher à lui balancer un scud sur la tête, j'ai pu lire des choses totalement aberrantes sur le site d'un passionné de la sonorisation qui jouit tout de même d'une certaine notoriété sur les forums audiophiles parce qu'il a l'apparat de la rigueur et qu'il s'est construit un site très fourni où il a copié/collé des trucs sans vraiment y comprendre quelque chose... Personnage qui ne supporte aucune contradiction (ce qui lui a valu de se faire bannir du forum d'Audax, par exemple).
Les problèmes de retard de groupe, etc. que tu évoques sont plutôt imputables au filtre d'antialising "sous-optimal" des CAN qu'au processus de discrétisation en lui-même.
Citation :
Et bien non, c'est archi-vrai "pour capturer parfaitement un signal sinusoïdal de fréquence Fs, il suffit de échantillonner a la fréquence Fe=Fs*2" est archi-fausse.
parce qu'il n'est pas nécessaire de réaliser le filtrage : on sait que cette sinusoïde seule est dans la bande Guaige
185
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Citation de EraTom :
Hors sujet :Le but c'est que tout le monde partage ses connaissances théoriques et pratiques.
Pour ma part j'ai un déficit d'expérience pratique.
Perso, ce qui m'intéresse c'est d'arriver à faire le lien entre les "deux mondes" que certains choisissent d’opposer. On évite les théories fumeuses qui n'apportent rien au schmilblick et aussi les pratiques douteuses qu'aucune "théorisation" n'est capable d'expliquer même de façon partielle.
+1
Les problèmes de retard de groupe, etc. que tu évoques sont plutôt imputables au filtre d'antialising "sous-optimal" des CAN qu'au processus de discrétisation en lui-même.
Citation :Et bien non, c'est archi-vrai"pour capturer parfaitement un signal sinusoïdal de fréquence Fs, il suffit de échantillonner a la fréquence Fe=Fs*2" est archi-fausse.
[ Dernière édition du message le 22/10/2013 à 22:23:28 ]
EraTom
2282
AFicionado·a
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L'interpolation linéaire n'est pas la bonne méthode pour reconstituer le signal : l'interpolation doit être réalisée par un filtre passe-bas.
Le problème de la restitution des transitoires ne vient pas de l'interpolation (bon, sauf si elle a des défauts et dans la pratique elle en a, bien sûr) mais surtout du fait que l'on réduise la taille de la bande de fréquence du signal.
La théorie et la pratique sont en réalité plus simples et plus compliquées à la fois (voilà une belle phrase qui veut tout et rien dire !
)
Pour l'échantillonnage (je viendrai sur les transitoires ensuite) :
Plus compliquée parce que la théorie demande d'introduire un outil mathématique un peu particulier : les distributions et l'impulsion de Dirac.
Plus simple parce que les conclusions de la théorie se ramènent, finalement, à des notions qui sont bien connues et qui ne posent pas de problème à quelqu'un qui a une bonne culture en audio.
Une distribution c'est un "bidule" qui permet d'extraire un échantillon d'un signal continu. L'impulsion de Dirac est une distribution ; on la note δ(t) comme une fonction du temps, mais ce n'est pas réellement une fonction telle qu'on l'entend normalement en mathématique (il existe une distinction réelle).
De façon abusive, on la représente comme une espèce de fonction, parce que c'est plus simple que de faire un cours de la théorie de la mesure et de l'intégration au sens de Lebesgue (qui fait bien souffrir les élèves de math spé) :
δ(t) = 1 si t = 0
δ(t) = 0 si t ≠ 0
Quand on calcule l'intégrale du produit d'un signal s(t) et de δ(t) pour un t allant de -oo à +oo on obtient :
∫ s(t)*δ(t) dt = s(0)
Pour obtenir un échantillon à un instant différent τ, on "translate" δ(t) sur l'axe du temps en utilisant δ(t-τ) :
δ(t-τ) = 1 si t = τ (puisque alors t-τ=0)
δ(t-τ) = 0 si t ≠ τ
∫ s(t)*δ(t-τ) dt = s(τ)
Pour représenter un signal échantillonné et le manipuler mathématiquement, on utilise alors le "peigne de Dirac" qui est la somme de plusieurs impulsions espacées régulièrement dans le temps. Pour une fréquence d'échantillonnage de Fe = 1/Te, le n-ième échantillon est donné par l'impulsion translatée de n*Te.
Le peigne est la somme des δ(t-n*Te) :
ϣ(t) = Σ δ(t-n*Te) pour n allant de -oo à +oo.
Le signal échantillonné est le produit du signal continue par le peigne de Dirac :
s(t)*ϣ(t) = s(t)* Σ δ(t-n*Te)
On peut alors calculer la transformée de Fourier du signal échantillonné :
S(f) = ∫ ( s(t)* Σ δ(t-n*Te) ) * exp(-i*2π*f*t) * dt (je mets de côté certains termes de normalisation qui n'ont pas d'intérêt ici)
Le théorème de Shannon-Nyquist consiste en une manipulation assez simple : je bouge les parenthèses qui ne servent à rien, je sors la somme de l'intégrale :
S(f) = ∫ s(t)* ( Σ δ(t-n*Te) * exp(-i*2π*f*t) ) * dt
S(f) = Σ ∫ s(t)* ( δ(t-n*Te) * exp(-i*2π*f*t) ) * dt
Je passe rapidement la suite (parce que je n'ai pas envie de partir dans des lignes de calculs pénibles à la lecture... et aussi à l'écriture !), pour aller directement au résultat final : le spectre du signal échantillonné que l'on obtient est le spectre du signal s(t) dupliqué régulièrement tous les n*Fe. C'est ça qui produit le repliement spectral.
Si s(t) ne contient que des fréquences dans [0 ; Fe/2], le haut du spectre dupliqué ne se recouvrent pas.
Si ce n'est pas la cas, on n'a pas le choix : il faut faire passer le signal dans un filtre qui va virer tout ce qui déborde avant l'échantillonnage. C'est le filtre passe-bas d’antialiasing qui coupe tout ce qu'il y a au-dessus Fe/2.
Pour récupérer s(t) à partir de sa version échantillonnée sans erreur liée à l'échantillonnage, il suffit d'extraire du spectre dupliqué la partie dans [0 ; Fe/2] et d'ignorer (ou d'annuler) tout ce qui est en dehors de cet intervalle.
En clair, il suffit de faire passer le signal échantillonné dans un filtre passe-bas parfait de fréquence de coupure égale à Fe/2... Exactement le même que celui dont on a besoin pour l'antialiasing.
"Il suffit" et "parfait" dans la même phrase peut faire sourire : un filtre parfait ça n'existe pas dans la vraie vie. Mais au moins on sait ce qu'il faut améliorer pour minimiser l'erreur et tendre vers l'optimalité.
Tu vois alors (j'espère ne pas t'avoir perdu en détails inutiles) que l'interpolation linéaire n'est pas ce qu'il faut faire : une interpolation linéaire entre deux échantillons revient à utiliser un filtre moyenneur, qui est bien un filtre passe-bas mais qui est loin d'être proche de l'optimal recherché.
Le filtre moyenneur présente une réponse fréquentielle qui est... un sinus cardinal (dans l'espace des fréquences !)
http://uuu.enseirb.fr/~dondon/puissance/ampliclasseD/filtrenum.html (la page ne traite d'un autre sujet mais des filtres moyenneurs sont présentés)
C'est la pire des solutions : On ne peut pas faire un filtre moins sélectif avec un nombre donné d'échantillons (enfin, à moins de faire un filtre qui n'est pas un filtre passe-bas volontairement).
Son seul intérêt est d'être très léger en terme de coût calculatoire (ou nombre de composants pour son implémentation "analogique"), et c'est tout ce qui peut justifier qu'il soit utilisé dans un tel contexte.
Le "bon filtre" est encore une fois le filtre brickwall (dont la réponse temporelle est un sinus cardinal) https://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_filter
Tu peux tomber sur des convertisseurs numérique-analogique qui proposent un sur-échantillonnage numérique, en interne, avant de produire la sortie analogique.
En fait la réalisation d'un filtre analogique sélectif proche du brickwall est une vraie difficulté, du moins ça coûte cher et demande beaucoup de mise au point.
En numérique c'est moins difficile.
Le sur-échantillonnage en sortie permet de réaliser le gros de l'interpolation en numérique, le signal sur-échantillonné est alors moins exigeant pour le filtre analogique en sortie : entre la fréquence d'échantillonnage initiale et la fréquence de sur-échantillonnage la bande de spectre est vide, et le filtre analogique peut donc être moins sélectif.
Autrement dit, ça permet tout simplement de reporter le problème du filtre d'interpolation du monde analogique vers le monde numérique.
Pour les transitoires maintenant (et enfin) :
Effectivement le théorème de Shannon-Nyquist n'en dit rien, et pour une bonne raison : Comme je te le disais, ce problème n'est pas directement lié à l'échantillonnage mais au filtrage passe-bas.
Ceci vient du théorème d'incertitude de Heisenberg-Gabor :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_d%27incertitude
(oui oui, comme en mécanique quantique, mais il y a une application particulière au traitement du signal cf. le § Difficulté d'interprétation qui donne un exemple dans le domaine de l'audio).
Pour faire simple, un signal ne peut pas être "précisément localisé" conjointement dans le domaine temporelle et fréquentiel. Il y a une limite infranchissable :
Δf * Δt > 2π
Cette inégalité montre que si l'on prend Δt très petit, alors Δf ne peut pas être aussi petit que l'on veut :
Δf > 2π/Δt
En passant aux limites : si Δt tends vers 0, 2π/Δt tend vers +oo...
Inversement, si l'on veut avoir Δf très petit, il faut que Δt tende vers l'infini.
Ça à l'air "abstrait" pourtant ça trouve une application très concrète qui montre la limite de résolution d'une analyse spectrale : Lorsque l'on mesure ou estime le spectre d'un signal, on ne peut pas le faire en utilisant un enregistrement de durée infinie !
Donc on prend un bout du signal, de quelques périodes : c'est le fenêtrage.
Le procédé implique un étalement du spectre : au lieu de visualiser de jolis pics sur chaque fréquence on observe des formes de cloches. Si deux pics sont très proches, ils sont confondus et rassembler dans une seule "grosse cloche".
https://en.wikipedia.org/wiki/Window_function
On essaie d'utiliser des formes de fenêtres qui limitent les rebonds, mais l'étalement ne peut pas être contré : conséquence du théorème d'incertitude.
Et bien c'est aussi vrai dans l'autre sens : si l'on réduit la bande de fréquence d'un signal, on l'étale dans le temps.
Un transitoire très bref présente un spectre étalé ; si l'on le fait passer dans un filtre qui réduit son support spectral (ce que l'on doit faire pour l'antialiasing) on l'étale inévitablement dans le temps.
Du coup, en montant en fréquence d'échantillonnage on restitue mieux un transitoire très bref, c'est vrai. Mais il faudrait que la cible elle-même reste à cette fréquence d'échantillonnage élevée.
Si l'on termine sur une cible avec une fréquence d'échantillonnage plus basse, les transitoires seront de toutes manières étalés.
On peut alors objecter qu'en travaillant à une fréquence plus élevée on peut mieux "shapper" les transitoires et leur dynamique.
Le problème (parce qu'il y en a toujours, décidément) c'est que le phénomène de Gibbs vient semer la pagaille.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Ph%C3%A9nom%C3%A8ne_de_Gibbs
Si l'on a réalisé un master @88Hz, que le niveau crête a été travaillé pour taper juste en dessous du 0dB et que l'on sous-échantillonne tout ça @44Hz, on peut avoir la belle surprise de constater que le signal repasse au-dessus de 0dB : master à reprendre à cause des transitoires
Le problème de la restitution des transitoires ne vient pas de l'interpolation (bon, sauf si elle a des défauts et dans la pratique elle en a, bien sûr) mais surtout du fait que l'on réduise la taille de la bande de fréquence du signal.
La théorie et la pratique sont en réalité plus simples et plus compliquées à la fois (voilà une belle phrase qui veut tout et rien dire !
)Pour l'échantillonnage (je viendrai sur les transitoires ensuite) :
Plus compliquée parce que la théorie demande d'introduire un outil mathématique un peu particulier : les distributions et l'impulsion de Dirac.
Plus simple parce que les conclusions de la théorie se ramènent, finalement, à des notions qui sont bien connues et qui ne posent pas de problème à quelqu'un qui a une bonne culture en audio.
Une distribution c'est un "bidule" qui permet d'extraire un échantillon d'un signal continu. L'impulsion de Dirac est une distribution ; on la note δ(t) comme une fonction du temps, mais ce n'est pas réellement une fonction telle qu'on l'entend normalement en mathématique (il existe une distinction réelle).
De façon abusive, on la représente comme une espèce de fonction, parce que c'est plus simple que de faire un cours de la théorie de la mesure et de l'intégration au sens de Lebesgue (qui fait bien souffrir les élèves de math spé) :
δ(t) = 1 si t = 0
δ(t) = 0 si t ≠ 0
Quand on calcule l'intégrale du produit d'un signal s(t) et de δ(t) pour un t allant de -oo à +oo on obtient :
∫ s(t)*δ(t) dt = s(0)
Pour obtenir un échantillon à un instant différent τ, on "translate" δ(t) sur l'axe du temps en utilisant δ(t-τ) :
δ(t-τ) = 1 si t = τ (puisque alors t-τ=0)
δ(t-τ) = 0 si t ≠ τ
∫ s(t)*δ(t-τ) dt = s(τ)
Pour représenter un signal échantillonné et le manipuler mathématiquement, on utilise alors le "peigne de Dirac" qui est la somme de plusieurs impulsions espacées régulièrement dans le temps. Pour une fréquence d'échantillonnage de Fe = 1/Te, le n-ième échantillon est donné par l'impulsion translatée de n*Te.
Le peigne est la somme des δ(t-n*Te) :
ϣ(t) = Σ δ(t-n*Te) pour n allant de -oo à +oo.
Le signal échantillonné est le produit du signal continue par le peigne de Dirac :
s(t)*ϣ(t) = s(t)* Σ δ(t-n*Te)
On peut alors calculer la transformée de Fourier du signal échantillonné :
S(f) = ∫ ( s(t)* Σ δ(t-n*Te) ) * exp(-i*2π*f*t) * dt (je mets de côté certains termes de normalisation qui n'ont pas d'intérêt ici)
Le théorème de Shannon-Nyquist consiste en une manipulation assez simple : je bouge les parenthèses qui ne servent à rien, je sors la somme de l'intégrale :
S(f) = ∫ s(t)* ( Σ δ(t-n*Te) * exp(-i*2π*f*t) ) * dt
S(f) = Σ ∫ s(t)* ( δ(t-n*Te) * exp(-i*2π*f*t) ) * dt
Je passe rapidement la suite (parce que je n'ai pas envie de partir dans des lignes de calculs pénibles à la lecture... et aussi à l'écriture !), pour aller directement au résultat final : le spectre du signal échantillonné que l'on obtient est le spectre du signal s(t) dupliqué régulièrement tous les n*Fe. C'est ça qui produit le repliement spectral.
Si s(t) ne contient que des fréquences dans [0 ; Fe/2], le haut du spectre dupliqué ne se recouvrent pas.
Si ce n'est pas la cas, on n'a pas le choix : il faut faire passer le signal dans un filtre qui va virer tout ce qui déborde avant l'échantillonnage. C'est le filtre passe-bas d’antialiasing qui coupe tout ce qu'il y a au-dessus Fe/2.
Pour récupérer s(t) à partir de sa version échantillonnée sans erreur liée à l'échantillonnage, il suffit d'extraire du spectre dupliqué la partie dans [0 ; Fe/2] et d'ignorer (ou d'annuler) tout ce qui est en dehors de cet intervalle.
En clair, il suffit de faire passer le signal échantillonné dans un filtre passe-bas parfait de fréquence de coupure égale à Fe/2... Exactement le même que celui dont on a besoin pour l'antialiasing.
"Il suffit" et "parfait" dans la même phrase peut faire sourire : un filtre parfait ça n'existe pas dans la vraie vie. Mais au moins on sait ce qu'il faut améliorer pour minimiser l'erreur et tendre vers l'optimalité.
Tu vois alors (j'espère ne pas t'avoir perdu en détails inutiles) que l'interpolation linéaire n'est pas ce qu'il faut faire : une interpolation linéaire entre deux échantillons revient à utiliser un filtre moyenneur, qui est bien un filtre passe-bas mais qui est loin d'être proche de l'optimal recherché.
Le filtre moyenneur présente une réponse fréquentielle qui est... un sinus cardinal (dans l'espace des fréquences !)
http://uuu.enseirb.fr/~dondon/puissance/ampliclasseD/filtrenum.html (la page ne traite d'un autre sujet mais des filtres moyenneurs sont présentés)
C'est la pire des solutions : On ne peut pas faire un filtre moins sélectif avec un nombre donné d'échantillons (enfin, à moins de faire un filtre qui n'est pas un filtre passe-bas volontairement).
Son seul intérêt est d'être très léger en terme de coût calculatoire (ou nombre de composants pour son implémentation "analogique"), et c'est tout ce qui peut justifier qu'il soit utilisé dans un tel contexte.
Le "bon filtre" est encore une fois le filtre brickwall (dont la réponse temporelle est un sinus cardinal) https://en.wikipedia.org/wiki/Sinc_filter
Tu peux tomber sur des convertisseurs numérique-analogique qui proposent un sur-échantillonnage numérique, en interne, avant de produire la sortie analogique.
En fait la réalisation d'un filtre analogique sélectif proche du brickwall est une vraie difficulté, du moins ça coûte cher et demande beaucoup de mise au point.
En numérique c'est moins difficile.
Le sur-échantillonnage en sortie permet de réaliser le gros de l'interpolation en numérique, le signal sur-échantillonné est alors moins exigeant pour le filtre analogique en sortie : entre la fréquence d'échantillonnage initiale et la fréquence de sur-échantillonnage la bande de spectre est vide, et le filtre analogique peut donc être moins sélectif.
Autrement dit, ça permet tout simplement de reporter le problème du filtre d'interpolation du monde analogique vers le monde numérique.
Pour les transitoires maintenant (et enfin) :
Effectivement le théorème de Shannon-Nyquist n'en dit rien, et pour une bonne raison : Comme je te le disais, ce problème n'est pas directement lié à l'échantillonnage mais au filtrage passe-bas.
Ceci vient du théorème d'incertitude de Heisenberg-Gabor :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Principe_d%27incertitude
(oui oui, comme en mécanique quantique, mais il y a une application particulière au traitement du signal cf. le § Difficulté d'interprétation qui donne un exemple dans le domaine de l'audio).
Pour faire simple, un signal ne peut pas être "précisément localisé" conjointement dans le domaine temporelle et fréquentiel. Il y a une limite infranchissable :
Δf * Δt > 2π
Cette inégalité montre que si l'on prend Δt très petit, alors Δf ne peut pas être aussi petit que l'on veut :
Δf > 2π/Δt
En passant aux limites : si Δt tends vers 0, 2π/Δt tend vers +oo...
Inversement, si l'on veut avoir Δf très petit, il faut que Δt tende vers l'infini.
Ça à l'air "abstrait" pourtant ça trouve une application très concrète qui montre la limite de résolution d'une analyse spectrale : Lorsque l'on mesure ou estime le spectre d'un signal, on ne peut pas le faire en utilisant un enregistrement de durée infinie !
Donc on prend un bout du signal, de quelques périodes : c'est le fenêtrage.
Le procédé implique un étalement du spectre : au lieu de visualiser de jolis pics sur chaque fréquence on observe des formes de cloches. Si deux pics sont très proches, ils sont confondus et rassembler dans une seule "grosse cloche".
https://en.wikipedia.org/wiki/Window_function
On essaie d'utiliser des formes de fenêtres qui limitent les rebonds, mais l'étalement ne peut pas être contré : conséquence du théorème d'incertitude.
Et bien c'est aussi vrai dans l'autre sens : si l'on réduit la bande de fréquence d'un signal, on l'étale dans le temps.
Un transitoire très bref présente un spectre étalé ; si l'on le fait passer dans un filtre qui réduit son support spectral (ce que l'on doit faire pour l'antialiasing) on l'étale inévitablement dans le temps.
Du coup, en montant en fréquence d'échantillonnage on restitue mieux un transitoire très bref, c'est vrai. Mais il faudrait que la cible elle-même reste à cette fréquence d'échantillonnage élevée.
Si l'on termine sur une cible avec une fréquence d'échantillonnage plus basse, les transitoires seront de toutes manières étalés.
On peut alors objecter qu'en travaillant à une fréquence plus élevée on peut mieux "shapper" les transitoires et leur dynamique.
Le problème (parce qu'il y en a toujours, décidément) c'est que le phénomène de Gibbs vient semer la pagaille.
https://fr.wikipedia.org/wiki/Ph%C3%A9nom%C3%A8ne_de_Gibbs
Si l'on a réalisé un master @88Hz, que le niveau crête a été travaillé pour taper juste en dessous du 0dB et que l'on sous-échantillonne tout ça @44Hz, on peut avoir la belle surprise de constater que le signal repasse au-dessus de 0dB : master à reprendre à cause des transitoires
[ Dernière édition du message le 23/10/2013 à 02:32:28 ]
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