Fondamentale manquante : explications, débat, application pratique...

Citation de pluton35 :

 sin(f) + sin(pi*f) où pi est le nombre pi : ce son n'est d'ailleurs pas périodique

ci dessous f + pi f vu de prés

...et vu de loin

est elle periodique ??? pi étant un nombre trés spécial (transcendant) je dirai non mais cela demande réflexion et étude de f + pi f.

 On pourrait proposer ça aux concours de Polytech, ENS ou Ircam  

On va finir par pondre un problème du genre du dernier théorème de Fermat qui a prit 3 siécles à des tas matheux professionnel pour le résoudre. Certains on même dû se flinguer car ils ne trouvaient pas la solution

la courbe "vu de loin" n'est pas bien claire clique sur https://fr.audiofanzine.com/membres/a.play,u.552011,s.photos.html

pour y voir mieux

c'est le fait que pi soit irrationnel qui rend la somme sin(f)+sin(pi*f) non périodique : on ne peut pas trouver d'instant où sin(f) et sin(pi*f) vont recommencer un même motif puisqu'ils ne partagent pas de dénominateur commun. Cependant, en généralisant la transformée de Fourier connue pour les signaux périodiques, on peut créer un temps (appelé pseudo-temps ou hyper-temps) relatif à chaque fréquence sans dénominateur commun (ici, f et pi*f de période respective T1=1/f et T2=1/(pi*f)) et l'ensemble du signal se retrouve alors sur un carré T1*T2 (au lieu du seul segment pour les signaux périodiques, à savoir la période), ou, du manière équivalente, sur un tore, qui est un carré dont on a joint les deux bords opposés deux à deux.

papaze, tu as vu mon message 75 ?

Citation de papaze :

 

On a au moins aboutit à une chose sure c'est l'inexistance de cette fondamentale comme certain le pensais au début.

Lorsque le débat à commencé fin juin sur le fil de Alain_DX7, il se disait que le son sin 2f + sin 3f reproduisait la raie sin f appelée fondamentale dans une décomposition en série de Fourier. Car certains entendent en plus de sin 2f et sin 3f un 3eme son qui est un résidu de battement entre 3f et 2f comme je l'ai montré dans ce fil mais en aucun cas un sin f.

Ce 3eme son est un son résultant (appelé aussi un son différentiel ou concomitant) voir : https://fr.wikipedia.org/wiki/Son_r%C3%A9sultant

La confusion vient du fait que la fréquence de ce 3eme est f.

Citation de papaze :

La confusion vient du fait que la fréquence de ce 3eme est f.

très bien dit ! (il aurait fallu considérer un signal de type sin 2f + sin 5f pour éviter la confusion mais bon, c'est un peu tard)

Citation de pluton35 :

 

 on ne peut pas trouver d'instant où sin(f) et sin(pi*f) vont recommencer un même motif puisqu'ils ne partagent pas de dénominateur commun

 

 Je suis 100% d'accord avec toi et en effet en analyse math on appele ça une fonction presque periodique.

https://fr.wikipedia.org/wiki/Fonction_presque_p%C3%A9riodique

le son sin f + sin pi f ou tout son de la forme sin f + sin i f où i est un irrationel sont impossible à entendre car auncun synthé ne va produire toute les décimales en nbres infini donc il y a des sons inaccessibles

je vous quitte.

A+

à propos Pluton 35 et si ce n'est pas trop indiscret , tu fais de la recherche dans quel domaine ?

Hors sujet :

c'est vrai que ça doit intéresser peu de monde mais bon : je travaille dans le domaine des vibrations non linéaires, la dynamique des structures et le mécanique du contact, le tout, plutôt dans les moteurs d'avions

Bjr Pluton35, en effet ce n'est pas un sujet Grand Public. Donc tu as bcp de connaissances en maths et en physique et je comprends ton interêt pour ce très modeste fil.

C'est quoi une vibration non linéaire ?

Moi, je suis passionné par la physique les maths la musique etc...

J'ai longtemps bricolé avec PropellerHead Reason 2 et 3. Si tu me laisse une adresse mail via la messagerie interne de AF je vais t'envoyer 3 fichiers rps surprenant. Apparemment la messagerie de AF ne permet pas d'envoyer des pièces jointes.

Bon je vais quand même déplacer ce sujet dans "Technique du son / Synthèse sonore", c'est vraiment sa place naturelle. De fait ça n'a pas grand rapport avec le DX7 ; et puis ceux qui suivent déjà le sujet continueront, mais d'autres qui ne le connaissent pas pourront venir...

voilà, je propose d'illustrer rapidement le problème de la fondamentale qui a disparu sur un signal périodique et de montrer que le signal résultant n'est pas le signal initial de fréquence double, comme certains peuvent le penser.

Dans ce qui suit, je considère un synthétiseur capable de délivrer une fonction "marche" (ou step, ou créneau..) de période T et par conséquent, de fréquence f=1/T (appelée par la suite marche f). Imaginons donc que quand je joue la note A1, assimilée à un La de 440Hz, sur mon clavier, le synthétiseur produise la fonction "marche" en question à la fréquence de f=440Hz.

Pour rappel, d'après la théorie de Fourier, toute fonction périodique de fréquence f peut être approchée (autant que l'on veut en ajoutant plus de termes) par la série qui suit:

S(t)=a0+a1*cos(2*pi*f*t)+b1*sin(2*pi*f*t)+a2*cos(2*2*pi*f*t)+b2*sin(2*2*pi*f*t)+...+an*cos(n*2*pi*f*t)+bn*sin(n*2*pi*f*t)

La fonction marche choisie, ainsi que ses reconstructions en séries de Fourier aux ordres n=20 et n=100 sont indiquées ci-dessous (figure 1), en rouge, bleu et noir, respectivement. La fondamentale de ce signal est indiquée en rose.

ci-dessous est indiqué le spectre de cette fonction marche. On voit que les coefficients ai (amplitudes des cosinus) sont tous nuls, de fait de la forme choisie de la fonction marche. Il en serait autrement pour d'autres signaux. Il s'agit ici de simplifier au maximum les explications. On remarque aussi que les harmoniques paires (2, 4, 6....) sont nulles : cela est aussi dû à la forme de la fonction marche.

Pour permettre au synthétiseur de générer un son sans fondamentale, il suffit de la retirer : on obtient alors la signal indiqué ci-dessous en rouge qui résulte de la courbe rouge moins la courbe rose de la figure 1. La fréquence de ce signal signal est toujours f, comme pour la fonction marche. Les recompositions en séries de Fourier de cette nouvelle fonction "marche sans fondamentale" sont indiquées en noir et bleu.

évidemment, son spectre est le même que celui de la fonction marche initiale moins la fondamentale (voir ci-dessous)

Tout instrument capable de délivrer ce type de son générera un son de fréquence f sans fondamentale. Il semblerait que le haut-bois fasse partie de cette famille d'instrument. Il y a bien sûr plein d'autres possibilités de son de cette famille : on aurait pu partir d'un son en dent de scie à la place, au début de cette illustration.

Certains pensent qu'un son sans fondamentale, c'est le même son à l'octave supérieure. Dans notre exemple, il s'agirait donc du La A2 de fréquence 880Hz, c'est-à-dire, une fonction marche dédoublée. On voit bien que c'est faux en comparant les formes des deux ondes sensées êtres les mêmes : la forme de la marche sans fondamentale ne ressemble pas à une marche de fréquence 2f, comme le montre la figure ci-dessous, où la fonction rouge est la marche à fréquence 2f (ou 880Hz) et la fonction bleue, la fonction marche de fréquence f (ou 440Hz) sans sa fondamentale.

Pour conclure, comparons les spectres de ces deux signaux (en faisant l'hypothèse pour mieux visualiser les différences que des deux signaux sont de fréquence f ou 440Hz) :

Tout devient limpide : le spectre rouge est le même que le spectre rouge de la figure 2, sauf qu'il est situé sur toutes les harmoniques dédoublées des harmoniques impaires du signal initial : autrement dit, a1 devient a2, a3 devient a6, a5 devient a10 et ainsi de suite (à cause du doublement de la fréquence). Quant au signal bleu, son spectre est bien le même que celui de la figure 4.

Conclusion importante : un signal sans fondamentale n'est pas le signal avec fondamentale de fréquence doublée, ce qui semble assez évident en fait.

Le deuxième problème, celui du battement, est probablement dû à de la malchance. Choisir comme exemple, un signal de type sin2f + sin3f fait intervenir un battement de fréquence f (sans approximation) que plusieurs ont confondu avec la fondamentale illustrée ci-dessus. En fait, pour s'en convaincre, il suffit de prendre un signal de type sin2f + sin5f, qui résulte toujours en un signal de fréquence f sans fondamentale mais qui génère un battement de fréquence 3f (ou 1,5f en fonction de la perception de l'oreille ou pas).

Voilà, j'espère que les choses sont plus claires maintenant. Vivement que l'on s'intéresse à la modulation de fréquence (ou de phase, qui n'est pas la même chose, du moins mathématiquement)

bjr Pluton35, ta contribution est trés trés interessante. Si j'arrive à suivre tu as étendu mon travail précédent sur 2f+3f à tout un spectre. Je vai m'y replonger dès que j'ai du temps.

Ce débat me semble trés utile pour mieux comprendre tous ces phénomènes et en particulier pour la synthése additive. Et comme ça un dira un peu moin de bêtises.

Quand à la FM ou PM (modulation de phase) on va y venir. J'ai commencé à lire les écrits de J CHOWNING, c'est passionnant...

As tu reçu Pluton35 les rps pour Reason ?

Très interressant tout cela !

C'est vrai que ça aide bien avec de beaux shémas.

Citation :

Voilà, j'espère que les choses sont plus claires maintenant. Vivement que l'on s'intéresse à la modulation de fréquence (ou de phase, qui n'est pas la même chose, du moins mathématiquement)

Que veut tu dire par "qui n'est pas la même chose" ?

Parce qu'a l'oreille c'est identique à partir de quelques Hz du moins. Et j'avais lu que c'était équivalent mathematiquement.

http://cours.musique.umontreal.ca/mus1321/Notes_de_cours/Csound_04_SynthMod.html

Citation :

 

Mais il faut savoir que modulation de fréquence et modulation de phase sont équivalentes. En effet, moduler la phase avec la fonction m(t) revient à moduler la fréquence avec m'(t), la dérivée de m(t). Donc, si une fonction sinus module la phase, une fonction cosinus (sa dérivée) module la fréquence.

On peut facilement montrer qu'une modulation de phase d'amplitude I est équivalente à modulation de fréquence d'amplitude D = I M, sachant que la dérivée en fonction du temps t du sinus de (ω t) est le cosinus (ω t) multiplié par la fréquence angulaire ω :

(sin ω t)' = ω cos ω t

Ainsi, en dérivant par rapport au temps le signal modulant la phase

Φ = I sin(ω_M t )

on obtient le signal modulant la fréquence :

Φ' = I ω_M cos(ω_M t )

Ce qui donne l'expression suivante pour y :

y = A sin[ (ω_C + I ω_M cos(ω_M t )) t ]

 

Superbe! Rien à redire...

A bientôt

Xa

Comme ce sujet fait déjà 8 pages, qu'il est homogène et clair, et bien centré sur l'histoire de la fondamentale manquante, je propose de :
- renommer ce sujet
- créer un autre thread, voire plusieurs, pour les autres sujets ; notamment : "comparaison entre synthèse par modulation de phase et modulation de fréquence"

Bien vu Dr Pouet tu m'as devancé de quelques minutes.

Je vais avoir du mal à suivre 2 sujets à la fois car ça consomme bcp de temps.

Le sujet de ce fil ne nous améne t-il pas simplement à La synthése additive

Citation de : xheindrichs

Superbe! Rien à redire...

A bientôt

Xa

j'allais le dire

Pluton35 : je viens de lire attentivement ton post n°86 et je suis 100% d'accord. C'est très bien présenté et parfaitement clair. Je pense que le débat sur la fondamentale manquante est clos et peu se conclure ainsi :

1) il existe bien des signaux PERIODIQUES sans FONDAMENTALE et de plus Pluton35 vient de montrer brillamment que :

Citation de Pluton35 :

 un signal sans fondamentale n'est pas le signal avec fondamentale de fréquence doublée

 2) la somme de sinusoïdes de fréquences différentes ne crée pas de fondamentale mais un battement qui transporte un information (enveloppe) de fréquence qui est égale à leur différence de fréquences. Cette information est interprêtrée et reconstruite par le système auditif pour être perçue comme un signal

Si c'est bon on peut peut-être en faire un nouveau théorème

merci pour vos gentils mots.

Citation de Dr Pouet :

cos(a) + cos(b) = 2 . cos( (a+b)/2 ) . cos( (a-b)/2 )

Ta formule est bonne et donc dans ma réponse, on doit comprendre 0.5f et non f, mais je répondais en même temps à Alain, qui lui s'intéresse plutôt à l'oreille, et par conséquent, j'ai fini par écrire f en imbriquant tout d'un coup, c'était un peu trop rapide.

@papaze : bien reçu merci.

@yohda : je ne me suis pas encore vraiment penché sur le sujet de la modulation de fréquence et de phase mais pour considérer le cas le plus simple, si on prend un signal s(t)=cos(wt+h) où w est la fréquence (la pulsation ici) et h, la phase alors, moduler la phase correspond à remplacer h=sin(at) d'où s(t)=cos(wt+sin(at)) et moduler la fréquence revient à remplacer w=sin(at) d'où s(t)=cos(sin(at)t+h). Ceci dit, je ne suis peut-être pas parti des définitions exactes. Intuitivement, ça ne semble par être strictement équivalent donc. On peut bien sûr rendre le processus plus compliqué en modulant la fréquence d'un créneau par une autre créneau, dans quel cas, les séries de Fourier s'imbriquent et résultent en une nouvelle série de Fourier (on en reparle sur l'autre fil).

A quand un mini tutoriel sur AF? (flag masqué)

on va peut-être attendre d'y voir plus clair avec la modulation de fréquence/phase avant non ?