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Sujet Théorème de Shannon.

  • 103 réponses
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  • 20 followers
Sujet de la discussion Théorème de Shannon.
Bonjour,
Je viens vous poster une question de mathématiques.

Le théorème d’échantillonnage de Shannon, qui prévoit une fréquence égale au moins au double de la fréquence maximale du signal est il résolu pour des valeurs d'échantillons appartenant à R (ensemble des nombres Réels) ou pour un ensemble fini comme 3 bits, ou 24 Bits par exemple?

je parle d’échantillonner un signal évidemment continu (audio).

Merci par avance,
2
Le pourquoi du comment est expliqué là :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Th%C3%A9or%C3%A8me_d%27%C3%A9chantillonnage

Le nombre de bits n'affecte que la résolution du convertisseur A/D utilisé: 8 bits = 2^8 niveaux possibles soit 256, 16 bits = 2^16 = 65536 etc... Tant qu'il est capable de suivre la fréquence d'échantillonnage, qui elle doit respecter les principes de MM. Shannon et Nyquist, peu importe. Par contre pour la qualité de la restitution sous forme analogique (via un convertisseur D/A) il vaut mieux "trop" que "pas assez", les signaux de faible amplitude risquant de n'être codés que sur 2 ou 3 bits, voire pas du tout.
Hope that it helps...;)

[ Dernière édition du message le 11/05/2018 à 21:11:40 ]

3
Ok, merci,
Car moi je croyais que ce Théorème était résolu dans R seulement, et qu'en fait ce signal échantillonné dans R, composé de n valeurs d'échantillons, après on le quantifiait au plus près, disons 16 ou 24 bit, mais que cela ne pouvait plus être considéré comme "Parfaitement Fidèle" au signal continu, mais avec un taux d'erreur qu'on essaye de garder au plus bas.

J'ai du me tromper alors,

Merci pour tout.
4
Je ne comprends pas trop. Si tu penses que ce théorème est valable pour des valeurs choisies dans R, il l'est donc également si ces valeurs sont choisies dans une partie de R. Les nombres codables en 16 bits, par exemple, sont dans R. Non ?
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Oui mais le signal à coder est continu (signal physique audio)
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La quantification en amplitude et l'échantillonnage temporel sont des choses essentiellement indépendantes.

Par exemple, le théorème de Shannon s'applique aussi pour les BBD (lignes à retard), qui sont échantillonnées temporellement mais qui restent analogiques en amplitude.

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7
Par contre si tu veux me démontrer que l’échantillonnage à la fréquence de Nyquist de ta courbe approximative à 16 bits est parfaitement fidèle à ta courbe approximative à 16 bits du signal, pourquoi pas, ça reste des approximations.
8
Moi j'ai juste l'impression qu'un signal échantillonné en valeur fini ne peut jamais être parfaitement fidèle à un signal continu. Çà reste des approximations, plutôt très bonnes par ailleurs, mais des approximations, comme tout en numérisation.
9
Oui, la numérisation dégrade le signal.

Le signal est continu jusqu'au micro (vibration de l'air).
Il est converti par le micro en signal électrique, toujours continu, jusqu'à l'entrée de la carte son.

A l'entrée de la carte son, il est converti en signal numérique.
C'est à dire qu'il est codé, transformé en un ensemble discret de points.

Il n'est donc plus continu, si du moins on parle de la manière dont il est enregistré.
Mais lorsqu'il sera écouté, le haut parleur opérera la transformation inverse, et émettra de nouveau un signal physique continu.


Même si le micro et le haut parleur étaient parfaits (ce qui est loin d'être le cas), cette quantification numérique, c'est à dire ce saucissonnage du son, produisent une légère déformation du signal. Plus la quantification est précise, et plus cette déformation est réduite.

Shannon parle de la fréquence d'échantillonnage. Il dit qu'il ne faut pas espérer enregistrer un son de 2000 Hz avec un fréquence d'échantillonnage inférieure à 4000 Hz, ce sera mathématiquement impossible.

Attention de ne pas en déduire qu'une fréquence de 4000 Hz permet d'enregistrer correctement tout ce qui est en dessous de 2000 Hz. Un signal de 1900 Hz, par exemple, va être sensiblement dégradé par un échantillonnage à 4000 Hz.

[ Dernière édition du message le 11/05/2018 à 23:23:12 ]

10
OK trazom, je crois que je vois les choses à peu près comme toi.