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Théorème de Shannon.

  • 103 réponses
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  • 20 followers
Sujet de la discussion Théorème de Shannon.
Bonjour,
Je viens vous poster une question de mathématiques.

Le théorème d’échantillonnage de Shannon, qui prévoit une fréquence égale au moins au double de la fréquence maximale du signal est il résolu pour des valeurs d'échantillons appartenant à R (ensemble des nombres Réels) ou pour un ensemble fini comme 3 bits, ou 24 Bits par exemple?

je parle d’échantillonner un signal évidemment continu (audio).

Merci par avance,
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21
Citation :
Lorsqu'on reconstruit un signal discret, on relie pas les points entre eux par des segments de droite.

C'est pour ça que je disais que mon exemple est un peu pourrave.
Citation :
Renseigne-toi sur [...]
Un petit rappel sur l'impulsion [...] ne te ferait pas de mal non plus.

C'est obligatoire, ce ton ?
22
aab: tu dis
"Non, et c'est d'ailleurs le sujet de la démonstration de Shannon.

L'image que tu as postée est fausse.
Lorsqu'on reconstruit un signal discret, on relie pas les points entre eux par des segments de droite.
Renseigne-toi sur les bloqueurs d'ordre zéro et la transformée en Z.
Un petit rappel sur l'impulsion de Dirac et la fonction porte ne te ferait pas de mal non plus."

MOi je n'ai pas posté cette image, et je ne la valide pas.

23
@ChatNon: désolé, je n'ai pas fait attention que ce n'était pas toi qui avait posté cette image.

Resistance is not futile... it's voltage divided by current

24
Je dis "'est là que je ne suis pas d'accord. Discrétiser, c'est perdre de l'information, qu'elle que soit la fréquence d’échantillonnage, si le signal d'origine est continu.
aab : tu dis "Non, et c'est d'ailleurs le sujet de la démonstration de Shannon."

J'ai lu la démonstration de Shannon, il démontre l'équivalence d'un signal continu x(t) à valeur dans R avec un signal échantillonné à valeurs dans R.
25
Il faut faire attention. Il y a une grande différence entre la théorie mathématique et la réalité de l'enregistrement numérique. Dans la pratique, le signal se dégrade beaucoup lorsqu'on approche de la fréquence limite théorique (la moitié de la fréquence d'échantillonage). Mais mathématiquement, Shannon démontre bien que la donnée de cette échantillonnage permet de reconstituer exactement le signal original.
26
Citation de ChatNon :
c'est là que je ne suis pas d'accord. Discrétiser, c'est perdre de l'information, qu'elle que soit la fréquence d’échantillonnage, si le signal d'origine est continu.


Ce qu'il faut bien voir c'est que la "grille" amplitude-temps avec laquelle on quantifie le signal n'est absolument pas homogène. En prenant l'exemple du 16 bits/44.1 kHz, une période de signal audio sera décrite par 2 à 2205 échantillons. Mais chaque échantillon a 65536 valeurs possibles (et même 16 millions en 24 bits).

L'incertitude sur l'amplitude liée à la quantification est minuscule, comparée à l'erreur qui serait introduite par une fréquence d'échantillonnage imprécise (jitter).

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27
Selon moi:

Shannon, il démontre l'équivalence d'un signal continu x(t) à valeur dans R (ensemble des réels) avec un signal échantillonné à valeurs dans R. ( échantillonné suivant fréquence de Nyquist)

Il démontre également l’équivalence d'un signal discrétisé à valeur dans D (ensemble discret) avec un signal échantillonné à valeurs dans D. ( échantillonné suivant fréquence de Nyquist)

Mais Shannon ne démontre jamais l'équivalence d'un signal continu x(t) à valeur dans R avec un signal échantillonné à valeurs dans D. ( échantillonné suivant fréquence de Nyquist).
28
En relisant la fin de mon post n°9, je reconnais qu'il induit en erreur.
J'aurais dû préciser :
"Attention de ne pas en déduire qu'une fréquence de 4000 Hz permet d'enregistrer correctement tout ce qui est en dessous de 2000 Hz DANS LA PRATIQUE. Un signal de 1900 Hz, par exemple, va être EN REALITE sensiblement dégradé par un échantillonnage à 4000 Hz."
29
Citation :
Mais Shannon ne démontre jamais l'équivalence d'un signal continu x(t) à valeur dans R avec un signal échantillonné à valeurs dans D. ( échantillonné suivant fréquence de Nyquist).

Absolument.
Sans m'avancer trop vite, je ne vois d'ailleurs pas trop comment ça pourrait être vrai.
Même si ton ensemble D est infini mais dénombrable, ça me parait difficilement possible.

[ Dernière édition du message le 12/05/2018 à 00:02:52 ]

30
Shannon ne nie pas l'existence d'un bruit de quantification, ce n'est tout simplement pas le sujet de ce théorème.

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