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Théorème de Shannon.

  • 103 réponses
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  • 20 followers
Sujet de la discussion Théorème de Shannon.
Bonjour,
Je viens vous poster une question de mathématiques.

Le théorème d’échantillonnage de Shannon, qui prévoit une fréquence égale au moins au double de la fréquence maximale du signal est il résolu pour des valeurs d'échantillons appartenant à R (ensemble des nombres Réels) ou pour un ensemble fini comme 3 bits, ou 24 Bits par exemple?

je parle d’échantillonner un signal évidemment continu (audio).

Merci par avance,
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31
Comme argument, je pense à une histoire de bijection impossible pour des raisons de cardinalité entre tes deux univers.
32
Citation :
Shannon ne nie pas l'existence d'un bruit de quantification, ce n'est tout simplement pas le sujet de ce théorème.

Oui, Shannon s'intéresse à la résolution temporelle. Tu sembles te questionner plutôt sur la profondeur de bit. Ce n'est pas vraiment l'objet de Shannon.
33
Enfin, dans 1 seconde de musique, codée à 16 bits, fréquence échantillonnage 44.1 Khz, je dois coder 44100 échantillons choisis parmi 65536 valeurs. Ce qui laisse énormément de possibilités. Mais ça reste un nombre fini de possibilités.

il y a combien de possibilités de sinusoïdes parfaites de fréquence comprises entre 50 hz et 20000 hz ? Une infinité non dénombrable.

En effet, il y a la fréquence 225. Mais également la 225,5, et la 225,57, puis 225,578...225,5789.....225,57893....
etc....225,578936785421359786123658... etc... une infinité de fréquences de sinusoïdes possibles.

Donc un signal x(t) continu ne peut être équivalent à un signal discret échantillonné.
34
D'ailleurs, prenons un contre-exemple évident :
Essaie d'enregistrer un signal avec une résolution de 44000 Hz mais avec seulement deux bits par échantillon. (donc 4 valeurs possibles).
Il est bien certain que, quelque soit la fréquence, il ne faut pas espérer une restitution fidèle d'un signal un peu complexe.
35
Donc, finalement, on est tous d'accord ?
36
Nos posts se croisent, je lis le n°33.
Ton exemple est bon, et rejoint mon histoire de cardinalité qui empêche la bijection.
Par contre, si tu retires de ta phrase "codé en 16 bits", l'argument ne fonctionne plus.

Donc Shannon a raison, et toi aussi.

[ Dernière édition du message le 12/05/2018 à 00:15:36 ]

37
Shannon a raison, oui. Son théorème est vrai. Validé des milliers de fois depuis le temps. Il n'en serait même pas le vrai inventeur. Ça date de la seconde guerre mondiale. Classé top défense à l'époque.

Son théorème est parfaitement vrai...Dans son domaine de validité, comme tout théorème de mathématiques.
38
Il manque un truc, ou alors j'ai lu trop vite : le corollaire de Shannon & Nyquist c'est qu'il ne faut surtout pas qu'il se présente dans le signal à numériser de fréquences trop élevées (lire : plus de la moitié de la fréquence d'échantillonnage), il faut donc le filtrer sévèrement avec un passe bas d'ordre élevé avant d'échantillonner quoi que ce soit. Pour les CD c'est vers 20 kHz, de toute façon hors d'atteinte de l'oreille humaine standard, à cause de l'échantillonnage à 44,1 kHz.

Après tout ces tripatouillages électroniques divers et variés, ce qui importe puisqu'on parle de sons à écouter, c'est justement l'écoute : si tu n'entends aucune différence entre le son brut et ce qui sort du convertisseur D/A inutile de se faire des noeuds au cerveau. Surtout si c'est pour en faire après des fichiers compressés.mp3 ou flac ou ogg ou... qui pour ce faire écrasent la dynamique et la bande passante, de façon assez astucieuse pour que ce soit plus ou moins inaudible.
39
Oui, mais je pense que la question de ChatNon ne concerne que la théorie mathématique de Shannon. Il cherche une correspondance parfaite entre deux signaux au sens de l'identité mathématique, pas au sens de de l'indifférenciabilité pour l'oreille humaine.

[ Dernière édition du message le 12/05/2018 à 09:04:33 ]

40
Ce que démontre le théorème de Shannon c'est qu'un échantillonnage parfait (peigne de Dirac) à une fréquence Fe produit (et est équivalent à) une duplication de la densité spectrale du signal échantillonné toutes les k*Fe (k dans l'ensemble des entiers relatifs).

L'une des conséquences c'est que si la BANDE de fréquences du signal échantillonné fait la moitié de Fe, alors on peut le reconstruire sans erreur.
Pour un signal de bande plus large, il y a repliement et on ne peut plus reconstruire le signal.

Par exemple, si un signal est contenu dans une bande de 400Hz à 500Hz, de largeur 500-400=100Hz, alors il "suffit" d'échantillonner à 200Hz... Et c'est largement exploité dans les telecom.

Dans nos applications audio, la bande qui nous intéresse commence généralement à 0Hz, donc la largeur de bande correspond à la fréquence max du signal.

Le filtre d'antirepliement a un rôle de garde-fou pour se prémunir du problème de repliement ou de limiter le spectre à ce qui nous intéresse (en audio, ce que l'on entend).


Suffit entre guillemets parce que dans la vraie vie l'échantillonnage n'est pas réalisé de manière idéale :
- Le filtre n'est pas parfaitement raide, donc il faut mettre une marge ;
- Les Dirac ne sont pas parfaitement ponctuel ; on peut prédire l'effet en convoluant le signal échantillonné "parfait" avec la forme de l'impulsion "approximative", et on se rassure en s'apercevant que ça ne représente pas grand chose devant le reste.