Sujet Une conversion de fréquence d'échantillonnage augmente le niveau crête ?

Temporellement, les atomes de Gabor sont des sinusoïdes modulées en amplitude par des Gaussiennes (ça a un peu la même tête qu'un sinus cardinal).


Pour une explication, il faut faire un petit retour sur la décomposition en série de Fourier :
- L'ensemble des fonctions T-périodiques forme un espace vectoriel de dimension infinie (c'est un espace de Hilbert en fait)
- Les fonctions { sin(2π*n*t/T) ; cos(2π*n*t/T) | n dans [ 0 ; +oo] } forment une base de cette espace vectoriel.
- Pour deux fonctions f(x) et g(x), l'intégrale 1/T*∫f(x).g(x).dx pour x allant de -T/2 à T/2 définit un produit scalaire sur cette espace. D'ailleurs tu peux noter cette intégrale < f,g > = 1/T*∫f(x).g(x).dx comme on note usuellement un produit scalaire en algèbre linéaire.
- Le calcul des coefficients de la série de Fourier d'une fonction u(t) est "tout simplement" la projection de la fonction u sur les vecteurs de la bases : c_n = < u(t),cos(2π*n*t/T) >. En d'autres termes, les coefficients { c_n ; s_n } sont les coordonnées de la fonction u(t) dans la bases des cosinus et sinus.


Dès que tu estimes un spectre tu supposes quand-même, au passage, que la fonction u(t) est périodique... et donc à support temporel infini.
Ça ne marche pas vraiment dès que le son étudié est percussif ou si le signal est "fenêtré" comme avec un découpage en trames (tu es trop loin de l'approximation "support temporel infini" ).


L'effet de la "réduction" du support temporel a été étudié par un certain Gabor, en autres. En réalité c'est aussi un problème similaire au "principe d'incertitude" (qui est bien un théorème) d'Heisenberg en mécanique quantique.
En gros, pour faire simple, quand tu es très localisé dans le temps tu ne peux pas être précis en fréquence (et vice versa). Tu te retrouves avec une limite théorique formulée de cette façon :
σt * σf ≥ 1/2π

Ce qui implique que : σf ≥ 1/(2π*σt)

Dans la pratique tu l'observes quand tu calcules des spectres sur des fenêtres de temps très courtes : tu perds en résolution fréquentielle et deux pics de fréquences proches n'en formeront qu'un seul.
Tu auras beau jouer sur la forme de la fenêtre de ta trame (pour limiter l'effet de la convolution par un "sinus cardinal" en fréquence liée à l'application d'une "porte" en temporel ; je parle de la fenêtre de Blackman, Harris, ou autres) tu n'arriveras de toute façon jamais à séparer 2 pics proches de σf à cause du théorème d'incertitude.

Ça va même encore plus loin : même si tu n'as qu'un seul pic, il y a un probabilité non négligeable qu'il soit mal positionné sur les fréquences car il peut être écarté de sa valeur réelle suivant une distribution (statistique) d'écart-type σf.


Il se trouve qu'en plus la transformée de Fourier (i.e. la décomposition dans une base de sinusoïdes) ne permet pas d'atteindre la limite théorique.
En clair, tu n'as pas σt*σf = 1/2π mais σt*σf > 1/2π. Et si tu n'as pas de chance, tu peux même te retrouver avec un σf >> 1/(2π*σt).

Gabor a alors proposé une nouvelle base de décomposition, les atomes de Gabor, qui permet d'atteindre cette limite théorique (on parle aussi de base à compacité maximale) et qui est mieux adaptées aux signaux dont le support temporel est réduit.
C'est ce qui en fait une base de choix pour la modélisation d'un son percussif ou d'un transitoire. Il est même prouvé mathématiquement que l'on ne fera jamais mieux.

> Gabor a alors proposé une nouvelle base de décomposition, les atomes de Gabor, qui permet d'atteindre cette limite théorique (on parle aussi de base à compacité maximale) et qui est mieux adaptées aux signaux dont le support temporel est réduit.
> C'est ce qui en fait une base de choix pour la modélisation d'un son percussif ou d'un transitoire. Il est même prouvé mathématiquement que l'on ne fera jamais mieux.

Balaise !