Sujet Gabou de l aide!;)
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Pov Gabou
19553
Drogué·e à l’AFéine
Membre depuis 22 ans
Hop, je continue 
Un concept fondamental en maths et en physique est le concept de linéarité. Qu'est ce que ça veut dire ? L'idée derriere la linéarité, c'est que si t'as un système complexe qui a certaines "bonnes" propriétés, tu peux l'étudier avec des entrées simples et des sorties simples. Plus exactement : imaginons un système à une entrée une sortie. Tu sais pas le résoudre directement ( en pratique, tu sais résoudre très , très peu d'équations et de systèmes exactement). C'est facile de voir la réponse de ce système (réponse = sortie) à une entrée simple. Et si tu décomposais une entrée complexe en entrées simples, pour pouvoir après exprimer la réponse complexe en fonction des réponses simples ?
L'interêt d'un système linéaire, c'est exactement ça : pouvoir déduire la réponse complexe d'une entrée complexe à partir des réponses simples. Par exemple, des fonctions dérivables simples, ce sont les exponeitielles et les cos/sin ( c'est d'ailleurs lié, tu verras quand tu feras les nombres complexes, en particulier la réprésentation polaire des nombres complexes). Car la dérivée d'une exponentielle, c'est une exponentielle, et la dérivée d'un cos, c'est un sin, et quand tu dérives deux fois, ça redevient un cos. D'où l'idée de décomposer toute fonction comme somme de sinusoides ( le signe bizarre que tu vois qui ressemble à un S, c'est un somme infinie, encore appelée série). On dit que l'on décompose une fonction dans une certaines base. Si tu fais prépa, tu passeras la moitié de ton temps à étudier les espaces véctoriels : basiquement, un espace vectoriel, abrégé ev, c'est un ensemble dont les éléments sont appelés vecteurs. La propriété fondamentale, c'est que si tu prends deux vecteurs et que tu en fais la somme, la somme est encore dans cet espace, et quand tu multiplies un vecteur par un scalaire (en général, le scalaire, c'est un nombre réel, ou un complexe. J'ai jamais vu d'ev où les scalaires étaient autre chose, sauf en maths bizarre. En physique, en tout cas, j'ai jamais vu ça utilisé ), ça reste un vecteur.
Exemple d'ev : les vecteurs géométriques que tu connais en 2d ou en 3d. Autre exemple : les fonctions dérivables. Si deux fonctions sont dérivables, leur somme l'est, et si f est dérivable, a.f où a est un réel est encore dérivable. Ce concept est absolument génialissime, car tu peux faire des projections de fonction, des trucs de malade; tu peux définir des opérateurs, etc... C'est absolument fondamental en physique (c'est le truc le plus important niveau outil mathématique).
Bref : dans un ev, tu peux toujours définir ce que l'on appelle une base (c'est facile à montrer dans des cas simples, plus dur à montrer en toute généralité, ça fait appel à des concepts de maths balaises type lemme de Zorn, fondamental en théorie des ensembles, bref, je m'égare). Une base est un ensemble de vecteurs qui permet de définir tous les autres. L'interêt ? si tu connais une base d'un ensemble, et si tu connais le comportement d'une application linéaire pour les vecteurs de base, tu connais le comportement pour tout l'ev. Ainsi, pour des ev qui contiennent une infinité de vecteurs ( par exemple vecteurs géométriques en 3d), il suffit de connaître le comportement de seulement 3 vecteurs ( tu peux montrer que dans l'espace, toute base a 3 vecteurs exactement, pas plus, pas moins). Gerer l'infini est souvent plus difficile que de gérer 3, dit un peu bêtement.
Pour l'équation de la chaleur : Fourier a du ( je connais pas son histoire, donc là, je suppute) voir que les cos et les sin étaient solutions dans certains cas triviaux. D'où l'idée : est ce que toutes les solutions sont décomposables en somme, éventuellement infinie, de cos et de sin de différentes fréquences ? ( pour une fonction sin(2pi*f*x), où x est la variable et f constant, f est la fréquence). L'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire est un espace vectoriel (toujours), donc si tu trouves la base, t'as tout trouvé.
le pb, que je développe pas ici, c'est que les sommes infinies de fonction posent de nombreux problèmes (est ce que ça existe, etc... dès que tu fais une somme infinie, t'as toujours des pbs, dit de convergence. Par exemple : la somme des 1/k, avec k allant de 1 à l'infini, ça tend vers l'infini, alors que la somme des 1/k^2, ça tend vers... Pi^2/8 ! bref, ça se voit pas tout de suite en général. En plus, si au lieu de faire des sommes de nombre, tu fais des sommes de finction, c'est encore nettement plus compliqué).
Bref : la transformée de Fourier, c'est décomposer une certain ensemble de fonctions (très vaste) dans une base, la base de fourier, constitué des cos et des sin. Mieux ! La TF a d'énormes propriétés super interessantes, comme par exemple si F est la TF de f, ben la TF de f' (la dérivée de f), c'est 2*pi* F ! Donc dériver dans le domaine "normal", c'est multiplier par une constante ! Je pense que tu comprends que multiplier par un nombre est nettement plus facile que dériver...
Pour une équation différentielle linéaire, prendre sa TF permet de transformer une équation différentielle en équation algébrique ! par exemple, une équation différentielle d'ordre 2 ( donc avec f, f' et f'') devient un pauvre polynôme d'ordre 2 ! Que tu sais résoudre depuis la seconde !
L'operateur de convolution, c'est exactement ça. Si h représente la réponse impulsionnelle de ton système (ie la réponse à la "fonction" delta, qui vaut 0 partout sauf en 0, et dont l'intégrale vaut 1... Si ça te parait bizarre, c'est normal, c'est même pas une vraie fonction, mais une distribution, concept qui a à peine 60 ans, découvert par Laurent Schwarz, génial mathématicien français mort l'année dernière, d'ailleurs), ben tu peux trouver la réponse (ie la solution de ton équation) en faisant la convolution de l'entrée et de la réponse impulsionnelle. La particularité de la TF, c'est que convoluer dans le domaine d'origine devient une simple multiplication dans le domaine de Fourier. Si j'appelle . la multiplication normale, et * la convolution, on a :
TF ( x*y) = TF(x).TF(y), avec x*y(t) = intégrale de x(u).y(t-u) sur la variable u.
Pour résumer tout ça : si t'as un filtre (autre nom pour désigner une équation différentielle linéaire), faire filtrer un signal revient à multiplier le spectre (spectre = tout simplement la TF du signal) par la réponse fréquentielle (autre nom pour la TF de la réponse impulsionnelle) du filtre.
Bref, quand qqn parle ici de fréquence, il parle sans le savoir de TF et convolution ;)
Un concept fondamental en maths et en physique est le concept de linéarité. Qu'est ce que ça veut dire ? L'idée derriere la linéarité, c'est que si t'as un système complexe qui a certaines "bonnes" propriétés, tu peux l'étudier avec des entrées simples et des sorties simples. Plus exactement : imaginons un système à une entrée une sortie. Tu sais pas le résoudre directement ( en pratique, tu sais résoudre très , très peu d'équations et de systèmes exactement). C'est facile de voir la réponse de ce système (réponse = sortie) à une entrée simple. Et si tu décomposais une entrée complexe en entrées simples, pour pouvoir après exprimer la réponse complexe en fonction des réponses simples ?
L'interêt d'un système linéaire, c'est exactement ça : pouvoir déduire la réponse complexe d'une entrée complexe à partir des réponses simples. Par exemple, des fonctions dérivables simples, ce sont les exponeitielles et les cos/sin ( c'est d'ailleurs lié, tu verras quand tu feras les nombres complexes, en particulier la réprésentation polaire des nombres complexes). Car la dérivée d'une exponentielle, c'est une exponentielle, et la dérivée d'un cos, c'est un sin, et quand tu dérives deux fois, ça redevient un cos. D'où l'idée de décomposer toute fonction comme somme de sinusoides ( le signe bizarre que tu vois qui ressemble à un S, c'est un somme infinie, encore appelée série). On dit que l'on décompose une fonction dans une certaines base. Si tu fais prépa, tu passeras la moitié de ton temps à étudier les espaces véctoriels : basiquement, un espace vectoriel, abrégé ev, c'est un ensemble dont les éléments sont appelés vecteurs. La propriété fondamentale, c'est que si tu prends deux vecteurs et que tu en fais la somme, la somme est encore dans cet espace, et quand tu multiplies un vecteur par un scalaire (en général, le scalaire, c'est un nombre réel, ou un complexe. J'ai jamais vu d'ev où les scalaires étaient autre chose, sauf en maths bizarre. En physique, en tout cas, j'ai jamais vu ça utilisé ), ça reste un vecteur.
Exemple d'ev : les vecteurs géométriques que tu connais en 2d ou en 3d. Autre exemple : les fonctions dérivables. Si deux fonctions sont dérivables, leur somme l'est, et si f est dérivable, a.f où a est un réel est encore dérivable. Ce concept est absolument génialissime, car tu peux faire des projections de fonction, des trucs de malade; tu peux définir des opérateurs, etc... C'est absolument fondamental en physique (c'est le truc le plus important niveau outil mathématique).
Bref : dans un ev, tu peux toujours définir ce que l'on appelle une base (c'est facile à montrer dans des cas simples, plus dur à montrer en toute généralité, ça fait appel à des concepts de maths balaises type lemme de Zorn, fondamental en théorie des ensembles, bref, je m'égare). Une base est un ensemble de vecteurs qui permet de définir tous les autres. L'interêt ? si tu connais une base d'un ensemble, et si tu connais le comportement d'une application linéaire pour les vecteurs de base, tu connais le comportement pour tout l'ev. Ainsi, pour des ev qui contiennent une infinité de vecteurs ( par exemple vecteurs géométriques en 3d), il suffit de connaître le comportement de seulement 3 vecteurs ( tu peux montrer que dans l'espace, toute base a 3 vecteurs exactement, pas plus, pas moins). Gerer l'infini est souvent plus difficile que de gérer 3, dit un peu bêtement.
Pour l'équation de la chaleur : Fourier a du ( je connais pas son histoire, donc là, je suppute) voir que les cos et les sin étaient solutions dans certains cas triviaux. D'où l'idée : est ce que toutes les solutions sont décomposables en somme, éventuellement infinie, de cos et de sin de différentes fréquences ? ( pour une fonction sin(2pi*f*x), où x est la variable et f constant, f est la fréquence). L'ensemble des solutions d'une équation différentielle linéaire est un espace vectoriel (toujours), donc si tu trouves la base, t'as tout trouvé.
le pb, que je développe pas ici, c'est que les sommes infinies de fonction posent de nombreux problèmes (est ce que ça existe, etc... dès que tu fais une somme infinie, t'as toujours des pbs, dit de convergence. Par exemple : la somme des 1/k, avec k allant de 1 à l'infini, ça tend vers l'infini, alors que la somme des 1/k^2, ça tend vers... Pi^2/8 ! bref, ça se voit pas tout de suite en général. En plus, si au lieu de faire des sommes de nombre, tu fais des sommes de finction, c'est encore nettement plus compliqué).
Bref : la transformée de Fourier, c'est décomposer une certain ensemble de fonctions (très vaste) dans une base, la base de fourier, constitué des cos et des sin. Mieux ! La TF a d'énormes propriétés super interessantes, comme par exemple si F est la TF de f, ben la TF de f' (la dérivée de f), c'est 2*pi* F ! Donc dériver dans le domaine "normal", c'est multiplier par une constante ! Je pense que tu comprends que multiplier par un nombre est nettement plus facile que dériver...
Pour une équation différentielle linéaire, prendre sa TF permet de transformer une équation différentielle en équation algébrique ! par exemple, une équation différentielle d'ordre 2 ( donc avec f, f' et f'') devient un pauvre polynôme d'ordre 2 ! Que tu sais résoudre depuis la seconde !
L'operateur de convolution, c'est exactement ça. Si h représente la réponse impulsionnelle de ton système (ie la réponse à la "fonction" delta, qui vaut 0 partout sauf en 0, et dont l'intégrale vaut 1... Si ça te parait bizarre, c'est normal, c'est même pas une vraie fonction, mais une distribution, concept qui a à peine 60 ans, découvert par Laurent Schwarz, génial mathématicien français mort l'année dernière, d'ailleurs), ben tu peux trouver la réponse (ie la solution de ton équation) en faisant la convolution de l'entrée et de la réponse impulsionnelle. La particularité de la TF, c'est que convoluer dans le domaine d'origine devient une simple multiplication dans le domaine de Fourier. Si j'appelle . la multiplication normale, et * la convolution, on a :
TF ( x*y) = TF(x).TF(y), avec x*y(t) = intégrale de x(u).y(t-u) sur la variable u.
Pour résumer tout ça : si t'as un filtre (autre nom pour désigner une équation différentielle linéaire), faire filtrer un signal revient à multiplier le spectre (spectre = tout simplement la TF du signal) par la réponse fréquentielle (autre nom pour la TF de la réponse impulsionnelle) du filtre.
Bref, quand qqn parle ici de fréquence, il parle sans le savoir de TF et convolution ;)
Anonyme
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Bon je médite ca ce soir et je te rapelle si probleme il y a ( et a mon avis il y aura )
mais ca prend forme du moins dans ma tete ( parce que dans celle de rb
) ....
mais ca prend forme du moins dans ma tete ( parce que dans celle de rb
) ....Anonyme
1094
Ah grand merci encore j'avais oublié 
Pov Gabou
19553
Drogué·e à l’AFéine
Membre depuis 22 ans
Anonyme
1094
Hmmm, effectivment voui je viens de comencer c hard....en tout cas mon pere me dit qu'il avait fait ca en fin de math spé donc ca veut dire que je suis pas con si je comprends pas tout :ouf:
Mais au juste si ce n'est pas indiscret tu fais koi dans la vie pour savoir tout ca comme ca ?
Mais au juste si ce n'est pas indiscret tu fais koi dans la vie pour savoir tout ca comme ca ?
Pov Gabou
19553
Drogué·e à l’AFéine
Membre depuis 22 ans
Anonyme
1094
Mouais ss doute..... je suis pas trop compétent pour te dire si tu sera grand matheux, mais deja bon t'es quand meme bien parti.... je suis encore en train de méditer
Pov Gabou
19553
Drogué·e à l’AFéine
Membre depuis 22 ans
Anonyme
5238
Je sais pas si t'es fort en math ,mais en tous cas sois tu t'es pris la tete pour taper tout ca sois tu metrise grave le clavier d'ordi...
Anonyme
1094
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