Au départ c'est la même chose. Mais depuis qu'Oracle a racheté Sun (qui était un gros contributeur à OOo), la communauté a fait un fork (reprise du code libre sous un autre projet) : LibreOffice.
Le développement de LibreOffice par la communauté est beaucoup plus actif que celui d'OpenOffice par Oracle (repris depuis par Apache).
Tout ca reste interopérable, car le format de fichier OpenDocument est un format ouvert (contrairement aux formats Microsoft).
edit : une belle frise chronologique (LibreOffice est en vert, OpenOffice en bleus, on voit bien ceux qui bossent) :